本文是将文章《8.3.2 前向分步算法与 AdaBoost》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

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$${\alpha }_m^{\ast }=\frac{1}{2}\log \frac{1-e_m}{e_m}$$

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我们从公式 $(8.22)$ 开始，详细列出将 $G_m^{\ast }(x)$ 代入后并一步步化简的过程。

公式 $(8.22)$

首先，公式 $(8.22)$ 的初始形式为：

$$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\exp (-y_i\alpha G(x_i))=(e^{\alpha }-e^{-\alpha })\sum _{i=1}^N{w}_{mi}I(y_i\ne G(x_i))+e^{-\alpha }\sum _{i=1}^N{w}_{mi}$$

其中：

• $G(x)$ 是一个弱分类器。
• $w_{mi}$ 是样本 $x_i$ 的权重。
• $I(y_i\ne G(x_i))$ 是指示函数，当 $y_i\ne G(x_i)$ 时取 1，否则取 0。

1. 将 $G_m^{\ast }(x)$ 代入公式 $(8.22)$

已知 $G_m^{\ast }(x)$ 是在第 $m$ 轮使分类误差最小的弱分类器，因此将 $G(x)$ 替换为 $G_m^{\ast }(x)$，公式变为：

$$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\exp (-y_i\alpha G_m^{\ast }(x_i))=(e^{\alpha }-e^{-\alpha })\sum _{i=1}^N{w}_{mi}I(y_i\ne G_m^{\ast }(x_i))+e^{-\alpha }\sum _{i=1}^N{w}_{mi}$$

接下来我们简化公式中的各项。

2. 定义分类误差率 $e_m$

定义当前弱分类器 $G_m^{\ast }(x)$ 的加权分类误差率为：

$$e_m=\sum _{i=1}^N{w}_{mi}I(y_i\ne G_m^{\ast }(x_i))$$

在这个定义下，公式可以重写为：

$$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\exp (-y_i\alpha G_m^{\ast }(x_i))=(e^{\alpha }-e^{-\alpha })e_m+e^{-\alpha }\sum _{i=1}^N{w}_{mi}$$

3. 求解总权重和

权重 $w_{mi}$ 是在上一轮（即第 $m-1$ 轮）归一化过的权重，因此满足：

$$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}=1$$

于是公式可以进一步简化为：

$$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\exp (-y_i\alpha G_m^{\ast }(x_i))=(e^{\alpha }-e^{-\alpha })e_m+e^{-\alpha }$$

4. 对 $\alpha$ 求导，找到最优 ${\alpha }_m$

我们希望找到一个最优的 $\alpha$ 值，使得上式的损失最小。为此，对 $\alpha$ 求导并令其等于 0。

将公式记为：

$$f(\alpha )=(e^{\alpha }-e^{-\alpha })e_m+e^{-\alpha }$$

对 $f(\alpha )$ 关于 $\alpha$ 求导，得到：

$$f^{\prime }(\alpha )=e^{\alpha }{e}_m+e^{-\alpha }{e}_m-e^{-\alpha }$$

令导数等于 0：

$$e^{\alpha }{e}_m+e^{-\alpha }{e}_m-e^{-\alpha }=0$$

移项得到：

$$e^{\alpha }{e}_m=e^{-\alpha }(1-e_m)$$

两边同时乘以 $e^{\alpha }$ 得：

$$e^{2\alpha }{e}_m=1-e_m$$

解出 $e^{\alpha }$：

$$e^{\alpha }=\sqrt{\frac{1-e_m}{e_m}}$$

取对数，得到：

$${\alpha }_m=\frac{1}{2}\log \frac{1-e_m}{e_m}$$

最终结果

我们得到了最优的 ${\alpha }_m$ 值为：

$${\alpha }_m=\frac{1}{2}\log \frac{1-e_m}{e_m}$$

这个结果表明了在给定分类器 $G_m^{\ast }(x)$ 的情况下，权重 ${\alpha }_m$ 的计算公式。