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一、题目描述

二、思路分析

三、易错提醒

四、同级和嵌套的关系

一、题目描述

下列程序段的时间复杂度是（）

int sum = 0;
for (int i = 1; i < n; i *= 2)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        sum++;

A. O(logn)

B. O(n)

C. O(nlogn)

D. O(n^2)

二、思路分析

首先我们先对外层循环进行分析：

外层每循环一次，i=i*2

即：i*2*2*2*2*2*...*2=n

每乘以一次2，代码执行一次；共乘了多少次2，就代表代码执行了多少次

设共执行了x次，所以：2^x=n

即x=logn

所以外层循环的时间复杂度为：O(logn)

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接下来看内层循环：

我们发现，内层j的循环次数是基于外层i的值

由于j<i，每当外层循环迭代器一次，内层的循环次数就是i-1

因为i是呈指数的形式增长的

外层第一次执行循环：i=1=2^0

外层第二次执行循环：i=1=2^1

外层第三次执行循环：i=1=2^2

外层第四次执行循环：i=1=2^3

......

所以外层循环迭代器第k次的时候，i的值大概是2^（k-1）

所以外层循环第k次时，内层循环执行2^(k-1)-1次。

内层的总执行次数就是：1+2+4+8+......+2^(k-1)-1

这里求出的内层执行次数的总和，也就是内外层执行的次数

其实就是一个等比数列

等比数列求和公式有两种，当q!=1的时候，Sn=a1（1-q^n）/1-q  or  Sn=（a1-an*q）/1-q

因为k=logn

所以：

Sn= 1 * （1 - 2^(k-1)）  / （1 - 2） = (2^k-1)  = 2^(logn-1) 

忽略掉1，则2^(logn-1) =n

即时间复杂度为：O(n)

综上所B述：答案为B

三、易错提醒

1. 为什么求出内层总循环次数就是求出总执行次数？
2. 循环嵌套不该是内层循环次数*外层循环次数吗？
3. 那外层明明也执行了，那不该把外层执行次数与内层执行次数相加吗？

这是我在写这道题碰壁的三个点。

个人见解如下：

3.1 内层总循环次数就是总执行次数的原因

在之前写代码，我们遇见过这种类型的代码：

int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{for (int j = 0; j < n; j++){sum++;}
}

我们知道，它的时间复杂度是：O(n^2)

那为什么是O(n^2)呢？

那就结合图来进行详细分析一下：

所以说，内层总循环次数就是求出了总执行次数。

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3.2 是否可以内外层简单相乘的情况

那为什么图1代码求的方式是外层*内层即可，而图2却不能外层*内层？也就是n*logn?

简单分析来看：

1. 因为图1的代码循环终止条件是相互不关联的，都是为n，所以可以进行简单的相乘来进行。
2. 而图2的代码终止条件是具有关联性的，内层的循环次数取决于外层i的值，所以要逐步分析出当外层执行一次，内层循环次数的变化，并把内层相加。

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3.3 内外层执行次数是否需要相加

那外层明明也执行了，那不该把外层执行次数与内层执行次数相加吗？

结合图进行分析：

那为什么求时间复杂度求最深层语句即可，不需要加上最外层的执行次数？

因为当n取很大值的时候，cpu运行速度很快，那些较小的数值就可以忽略不计，只需要计算属于哪个量级即可。

当n很大时，图3的n^2远远大于n ，可以忽略n，所以时间复杂度为O(n^2)

图4的n远远大于logn，可以忽略logn，所以时间复杂度为O(n)

因为时间复杂度本质是计算算法的执行次数属于哪个量级！！！

故而，我们解决了以上的三个问题！

四、同级与嵌套的关系

同级关系相加    嵌套关系相乘

我们对比以下两段代码：

代码一

//嵌套
int n = 10;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{for (int j = 0; j < n; j++){sum++;}
}

代码二

//同级
int n = 10;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{sum++;
}
for (int j = 0; j < n; j++)
{sum++;
}
cout << sum << endl;