一、回忆偏导数

多元函数（比如有x、y两个变量）在某个点有两个偏导数，一个是关于x的偏导数，一个是关于y的偏导数。如下所示：

所谓偏导数，其实就是某点处函数在x的正方向或y的正方向上的变化率。从图像上来看就是上面粉色和绿色的两个平面。

但是，这个点在xy平面上难道就只能向x的正方向或y的正方向去变化吗？显然不是，它是可以向很多方向变化的。由此，就引申出了“方向导数”这个东西。

二、回忆方向余弦

将向量单位化就是：用向量的两个坐标分别除以这个向量的长度。

三、方向导数

下图中，函数在蓝色点(x,y)处对应的值为黑色点(x,y,z)，而蓝色点可以沿着各个方向运动，那么当蓝色点的位置发生变化时，函数上的黑色点的位置也会随之变化。这里就有一个所谓“变化率”的感觉。

那么，我们画成图像就是下面这样：假如xy平面上的点是按照紫色箭头方向变化的，那么毫无疑问，它在函数上就会投影出一段曲线。如下所示⬇️

上图中切线就是函数在xy平面上那个点沿紫色方向的变化率。