【经典机器学习算法】谱聚类算法及其实现(python)

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目录

1. 前言

2. 前提知识

2.1  邻接矩阵

2.2 度与度矩阵

2.3 矩阵的相似

2.4 连通子图

3. 相似度的衡量方法

3.1 ​​近邻法

3.2 k近邻法

3.3 高斯核函数

4. 图拉普拉斯矩阵(Graph Laplacian Matrix)

4.1 非规范化的图拉普拉斯矩阵

 4.2 非规范化的图拉普拉斯矩阵的性质

5. 谱聚类(无向图切割)

5.1 谱聚类切割目标(优化目标-loss) 

5.2 谱聚类算法思想

5.2.1 RatioCut切图

 5.2.2 Ncut切图

5.2.3 总结

6. 谱聚类算法实现(基于python实现) 

7. 总结


1. 前言

在看一篇论文的过程中,遇到一个问题:

“已知数据集,要求将数据集分为几组,要求组间距离最大,组内距离最小”

这是一个无监督问题,在查阅资料后,认为聚类可以帮我解决这个问题

聚类的思想来源于图论,它把待聚类的数据集中的每一个样本看做是图中一个顶点,这些顶点连接在一起,连接的这些边上有权重,权重的大小表示这些样本之间的相似程度。同一类的顶点它们的相似程度很高,在图论中体现为同一类的顶点中连接它们的边的权重很大,不在同一类的顶点连接它们的边的权重很小。

于是谱聚类的最终目标就是找到一种切割图的方法,使得切割之后的各个子图内的权重很大,子图之间的权重很小。

可以看出,数据集总共分为2类左右,沿着图中蓝色线切割可以得到结果,这种切割的前提是这两个类之间的顶点,比如顶点i和j之间的权重最小,即Wij最小。

2. 前提知识

假设给定一个数据集X={x1,x2,…,xn},其中每一个样本 xi∈R^m 。按照图论的思想,我们将这个 n 个数据向量当做 m 维空间中某一幅无向图上的一个个点,因为我们的目的是衡量这些点之间的相似性,所以本文把这幅图叫做相似图,记为 G=(V,E) ,其中 V={v1,v2,…,vn} 表示顶点, E 表示边的集合。连接两个顶点 vi 和 vj 的边的权重记为w_{ij},它们的相似性用s_{ij} 表示,该相似性的值越大,说明它们越相似,反之则越不相似。

本文要求边的权重 wij≥0 ,权重等于0表示俩顶点无连接,则 n 个顶点的权重构成一个矩阵 W=(w_{ij}),i,j=1,2,…,n ,这个矩阵将在下文出现。

这里w_{ij}s_{ij}有直接关系

2.1  邻接矩阵

对于一幅无向图G=(V,E)​​,学过图论或者数据结构的同学都知道,他有两个很重要的概念是图的邻接矩阵和顶点的。所有顶点之间的权重构成一个n×n​​​矩阵,叫做邻接矩阵,也叫权重矩阵,即:

W=\begin{bmatrix}w_{11}&w_{12}&\ldots&w_{1n}\\w_{21}&w_{22}&\ldots&w_{2n}\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\w_{n1}&w_{n2}&\ldots&w_{nn}\end{bmatrix}\quad(1)

对于无向图,顶点vi​​与顶点vj​​之间的权重和顶点vj​​与顶点vi​​之间的权重是一样的,因而wij=wji​​,因此W​​是对称矩阵,即W=WT​​​。顶点自己到自己的权重是多少呢?这里先按下不表。这个邻接矩阵稍后将作为图的相似矩阵。注意这里的相似矩阵不是矩阵的相似。

相似矩阵:由点之间的相似值sij来组成的矩阵

矩阵的相似:两个矩阵,也就是两个图是否相似的定量衡量

2.2 度与度矩阵

在数据结构中,度定义为与该顶点直接连接的顶点的个数,或者是连接到该顶点的边的个数。不过不采用这个定义。对于某个顶点di,i=1,2,…,n​而是将度定义为:

{d_i=\sum_{j=1}^nw_{ij}\quad(2)}

从公式(2)可以看出,顶点vi的度其实就是邻接矩阵第i行的和(第i列的和也可以,因为W​是对称矩阵)。

度矩阵定义为n个度构成的对角矩阵,即:

{D=\begin{bmatrix}d_1&0&0&0&\ldots&0\\0&d_2&0&0&\ldots&0\\0&0&d_3&0&\ldots&0\\0&0&0&d_4&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\0&0&0&0&\ldots&d_n\end{bmatrix}}\text{(3)}

相似矩阵对角线上的值:本行所有wij求和

2.3 矩阵的相似

给定顶点V的一个子集A⊂V,我们定义它的补为\bar{A}。再给定顶点V的一个子集B⊂V,我们定义它的补为\bar{B},对于2个子集A和B,我们定义:

W(A,B):=\sum_{\boldsymbol{v}_i\in A,\boldsymbol{v}_j\in B}w_{ij}\quad(4)

公式(4)表示两个子集中顶点之间的权重之和,注意这里不包含子集内顶点之间的权重

子集的大小有两种定义:

  • 子集内顶点的个数,记为|A|。
  • 子集内所有顶点的度之和,记为:\mathrm{vol}(A):=\sum_{\boldsymbol{v}_i\in A}d_i\text{}

2.4 连通子图

对于一个非空子集A⊂V​,如果A中的任意两个顶点都至少存在一条路径将它们连接起来,并且A中的其它顶点也在这条路径上,则称A是连接的。如果子集A是连接的,并它与它的补A¯​不存在任何的连接。则称A​是一个连通子图。非空子集A1,A2,…,Ak构成图V的一个分割,用数学公式来写就是A1∪A2,…,∪Ak=V。

3. 相似度的衡量方法

wij:表示vi、vj两个点之间的权重

sij:表示vi、vj两个点之间的相似度

权重就是相似度,相似度越大权重越大

图中各个顶点的相似度衡量主要基于距离的度量,也就是说空间两个点的距离越近,则它们越相似,距离越远,则它们越不相似,即相似度与距离成反比,所以只要你使用的度量空间具有这种性质,都可以作为相似度的衡量方法。下面介绍三种相似度的衡量方法,同时也是相似矩阵的计算方法。

3.1 \epsilon​​近邻法

该方法采用欧式距离计算两个顶点的距离,然后设定一个阈值ϵ,使得:

w_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}0,&\text{if}s_{ij}>\epsilon\\\epsilon,&\text{if}s_{ij}\leq\epsilon\end{array}\right.\quad(5)

从公式(5)可以看出,由此得到的相似矩阵其元素要么是0要么是ϵ,这种方法获得权重信息量太少了,一般很少使用。

缺陷:相似度不是一个连续的变量,且只有一个固定的值

3.2 k近邻法

该方法取与顶点最近的k​个顶点,该顶点与这k个顶点的权重都大于0,但这会导致最后所得的相似矩阵不一定是对称的,因为一个点vi在另外一个点vj的k个近邻中,并不能保证vj也在vi的k​​个近邻中。有两种可以保证所得的相似矩阵对称:

  • 两个顶点vi​与vj​只要其中一个点在另外一个点的k​​个近邻中,则令wij=wji​,只有这两个顶点同时都不在任何一方的k​个近邻中,则令wij=wji=0​​​。综合可得:

\left.w_{ij}=w_{ji}=\left\{\begin{array}{ll}0,&\boldsymbol{v}_i\not\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_j)\mathrm{~and~}\boldsymbol{v}_j\not\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_i)\\\frac{1}{s_{ij}},&\boldsymbol{v}_i\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_j)\mathrm{~or~}\boldsymbol{v}_j\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_i)\end{array}\right.\right.\quad(6)

方法本质:增加限制条件,保证其一定是对称的  

  •  两个顶点vi与vj只同时在双方的k个近邻中,则令wij=wji,只要有一方不在另外一方的k个近邻中,则令wij=wji=0。综合:\left.w_{ij}=w_{ji}=\left\{\begin{array}{ll}0,&\boldsymbol{v}_i\not\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_j)\mathrm{~or~}\boldsymbol{v}_j\not\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_i)\\\frac{1}{s_{ij}},&\boldsymbol{v}_i\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_j)\mathrm{~and~}\boldsymbol{v}_j\in\mathrm{knn}(\boldsymbol{v}_i)\end{array}\right.\right.\quad(7)

3.3 高斯核函数

考虑到相似度计算的问题在于:

1、保证对称

2、和距离呈反函数

3、不论什么维度都要能够计算距离,从而计算相似度

到这里不难想到:高斯核函数

该方法将所有的顶点都连接起来。然后通过度量空间中某种对称度量算子来计算顶点之间的相似度。比如使用高斯核函数计算两个顶点之间的相似度:

w_{ij}=w_{ji}=e^{-\frac{1}{2}[(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{j})^{T}\Sigma^{-1}(\boldsymbol{v}_{j}-\boldsymbol{v}_{j})]}\quad(8)

注意,这里的\boldsymbol{v}_{i}^{T}\Sigma^{-1}\boldsymbol{v}_{j}是一个标量,标量的转置仍然是它自身,所以公式(8)​是一个对称的度量算子。为什么要求是对称的度量的算子,因为要保证租后得到的相似矩阵是相似的。

4. 图拉普拉斯矩阵(Graph Laplacian Matrix)

4.1 非规范化的图拉普拉斯矩阵

图拉普拉斯矩阵的定义比较简单,即:

 L = D - W \quad(9)

其中D是公式(3)​的度矩阵,W​是公式(1)的权重矩阵(相似矩阵) 

举个例子,给定下面的图:

把此“图”转换为邻接矩阵的形式,记为:W

把的每一列元素加起来得到个数,然后把它们放在对角线上(其它地方都是零),组成一个N × N N \times NN×N对角矩阵,记为度矩阵D DD,如下图所示:

根据拉普拉斯矩阵的定义L = D − W L=D-WL=D−W,可得拉普拉斯矩阵 L LL为:

 4.2 非规范化的图拉普拉斯矩阵的性质

(1)对于任意的向量f∈Rn,有:

\begin{aligned} f^{T}L\boldsymbol{f}& =\boldsymbol{f}^T(D-W)\boldsymbol{f} \\ &=\boldsymbol{f}^TD\boldsymbol{f}-\boldsymbol{f}^TW\boldsymbol{f} \\ &=\sum_{i=1}^nd_if_i^2-\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_if_j \\ &=\frac12\left(\sum_{i=1}^nd_if_i^2-2\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_if_j+\sum_{j=1}^nd_jf_j^2\right) \\ &=\frac12\left[\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^nw_{ij})f_i^2-2\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_if_j+\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^nw_{ji})f_j^2\right] \\ &&\text{(10)} \\ &=\frac12\left[\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^nw_{ij})f_i^2-2\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_if_j+\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^nw_{ij})f_j^2\right] \\ &=\frac12\left(\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_i^2-2\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_if_j+\sum_{i,j=1}^nw_{ij}f_j^2\right) \\ &=\frac12\sum_{i,j=1}^nw_{ij}(f_i^2-2f_if_j+f_j^2) \\ &=\frac12\sum_{i,j=1}^nw_{ij}(f_i-f_j)^2 \end{aligned}

 

(2)L​是一个对称半正定矩阵。

因为经过相似矩阵W​的各种求法可知,其元素wij​是非负数,所以由公式(10)可知​:

f^TLf\geq0\quad(11)

恒成立。从而L是一个对称半正定矩阵

补充一下正定矩阵的作用:

很多时候,我们在机器学习/深度学习/优化问题中需要计算最优解,要怎么判断我们所求的解就是最优解呢?

这里需要引入:黑塞矩阵(Hessian)

 黑塞矩阵(Hessian):

  1. 如果是正定矩阵,则临界点处是一个局部极小值
  2. 如果是负定矩阵,则临界点处是一个局部极大值
  3. 如果是不定矩阵,则临界点处不是极值

 (3)L的最小特征值为0,对应的特征向量为全1向量1

\begin{aligned} L_{1}& =(D-W)\mathbf{1} \\ &=D\mathbf{1}-W\mathbf{1} \\ &=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\\vdots\\d_n\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\sum_{j=1}w_{1j}\\\sum_{j=1}w_{2j}\\\vdots\\\sum_{j=1}w_{nj}\end{bmatrix}& (12) \\ &=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\\vdots\\d_n\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\\vdots\\d_n\end{bmatrix} \\ &=\mathbf{0}=0*\mathbf{1} \end{aligned} 

所以,矩阵L的0特征值对应的特征向量为1。 

补充定理1:对于一个分块对角矩阵A​:

A=\begin{bmatrix}A_1&0&0&\ldots&0\\0&A_2&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\0&0&0&\ldots&A_n\end{bmatrix}\quad(13)

它的特征值等于各个分块矩阵Ai,i=1,2,…,n​的特征值。

5. 谱聚类(无向图切割)

一张图,如下:

将其分为几组,可以理解为:1、由单个点去聚合;2、由整张图去切割 

回收前面提到的“矩阵的相似”:

这里我们切割的目的就是:要让切割后的子图之间的相似程度最小,子图内的相似程度最大

切割子图之间的相似程度定义如下:

定义 A 和 B是图 G 中两个子图,则定义子图A和 B的切图权重为:

\mathbf{W(A,B):=\sum_{i\in A,j\in B}w_{ij}}

那么对于我们k个子图的集合:A 1 , A 2 , . . . , A k,我们定义切图 cut 为:

\mathrm{cut}(\mathbf{A}_1,\mathbf{A}_2,...,\mathbf{A}_\mathrm{k})=\frac12\sum_{\mathrm{i}=1}^\mathrm{k}\mathbf{W}(\mathbf{A}_\mathrm{i},\bar{\mathbf{A}}_\mathrm{i})

5.1 谱聚类切割目标(优化目标-loss) 

 那么如何切图可以让子图内的点权重和高,子图间的点权重和低呢?一个自然的想法就是最小化c u t ( A 1 , A 2 , . . . , A k ),但是可以发现,这种极小化的切图存在问题,如下图:

问题出现本质:没有考虑算法内聚性,没有让子图内的权重尽量高 

容易确保切割数量与cut函数的关系不是单调的,存在极值点:

1、当子图数量增加,则需要增加考虑子图间的cut值

2、当子图数量减少,需要增加考虑子图内部的连接强度

5.2 谱聚类算法思想

为了避免最小切图导致的切图效果不佳,我们需要对每个子图的规模做出限定,一般来说,有两种切图方式,第一种是RatioCut,第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍:

5.2.1 RatioCut切图

RatioCut切图为了避免上面出现的最小切图,对每个切图,不光考虑最小化cut( A 1,A 2 , ..,A k )它还同时考虑最大化每个子图点的个数,即:

\mathrm{RatiocCut}(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,...,\mathrm{A}_\mathrm{k})=\frac12\sum_{\mathrm{i}=1}^\mathrm{k}\frac{\mathrm{W}(\mathrm{A}_\mathrm{i},\bar{\mathrm{A}}_\mathrm{i})}{|\mathrm{A}_\mathrm{i}|}

最小化这个函数即可。

 5.2.2 Ncut切图

Ncut切图和RatioCut切图很类似,但是把Ratiocut的分母 ∣ A i ∣换成vol(A_i)。由于子图样本的个数多并不一定权重就大,我们切图时基于权重也更合我们的目标,因此一般来说Ncut切图优于RatioCut切图。

\mathrm{NCut}(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,...,\mathrm{A}_\mathrm{k})=\frac12\sum_{\mathrm{i}=1}^\mathrm{k}\frac{\mathrm{W}(\mathrm{A}_\mathrm{i},\bar{\mathrm{A}}_\mathrm{i})}{\mathrm{vol}(\mathrm{A}_\mathrm{i})}

5.2.3 总结

引入子图内连接强度:

\text{intra connect}(A)=\sum_{u,v\in A}w(u,v)

vol(A_i)的本质就可以用这个intra connect(A)来代替

本质上:除上intra connect(A)和|Ai|的目的都是考虑上子图内部的内聚性

6. 谱聚类算法实现(基于python实现) 

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as pltdef load_data(filename):"""载入数据:param filename: 文件名:return: numpy array 格式的数据"""data = np.loadtxt(filename, delimiter='\t')return datadef distance(x1, x2):"""获得两个样本点之间的欧几里得距离:param x1: 样本点1:param x2: 样本点2:return: 两个样本点之间的距离"""return np.linalg.norm(x1 - x2)def get_dist_matrix(data):"""获取距离矩阵:param data: 样本集合:return: 距离矩阵"""return np.linalg.norm(data[:, np.newaxis] - data[np.newaxis, :], axis=-1)def getW(data, k):"""获得邻接矩阵 W:param data: 样本集合:param k: KNN参数:return: 邻接矩阵 W"""n = len(data)dist_matrix = get_dist_matrix(data)W = np.zeros((n, n))for idx in range(n):# 获取最近k个邻居的索引idx_array = np.argsort(dist_matrix[idx])[1:k+1]  # 跳过自己W[idx, idx_array] = 1# 确保邻接矩阵是对称的return (W + W.T) / 2def getD(W):"""获得度矩阵:param W: 邻接矩阵:return: 度矩阵 D"""return np.diag(np.sum(W, axis=1))def getL(D, W):"""获得拉普拉斯矩阵:param D: 度矩阵:param W: 邻接矩阵:return: 拉普拉斯矩阵 L"""return D - Wdef getEigen(L, cluster_num):"""获得拉普拉斯矩阵的特征向量:param L: 拉普拉斯矩阵:param cluster_num: 聚类数目:return: 选定特征值对应的特征向量"""eigval, eigvec = np.linalg.eig(L)ix = np.argsort(eigval)[:cluster_num]  # 选择最小的cluster_num个特征值的索引return eigvec[:, ix]def plotRes(data, clusterResult, clusterNum):"""结果可视化:param data: 样本集:param clusterResult: 聚类结果:param clusterNum: 聚类个数"""scatterColors = ['black', 'blue', 'green', 'yellow', 'red', 'purple', 'orange']for i in range(clusterNum):color = scatterColors[i % len(scatterColors)]plt.scatter(data[clusterResult == i, 0], data[clusterResult == i, 1], c=color, marker='+')plt.title(f'Clustering Result with {clusterNum} clusters')plt.xlabel('Feature 1')plt.ylabel('Feature 2')plt.show()def cluster(data, cluster_num, k):"""聚类函数:param data: 输入数据:param cluster_num: 聚类数目:param k: KNN参数:return: 聚类标签"""W = getW(data, k)D = getD(W)L = getL(D, W)eigvec = getEigen(L, cluster_num)# 使用KMeans进行聚类clf = KMeans(n_clusters=cluster_num)label = clf.fit_predict(eigvec)  # 直接使用fit_predictreturn labelif __name__ == '__main__':cluster_num = 7knn_k = 5filename = '../data/Aggregation_cluster=7.txt'data = load_data(filename=filename)data = data[:, :-1]  # 去除最后一列(假设为标签列)label = cluster(data, cluster_num, knn_k)plotRes(data, label, cluster_num)

运行结果如下:

7. 总结

以上就是整个谱聚类的原理介绍、分析、实现和讨论。其本质呢还是从数据中构造某种相似矩阵(类比协方差矩阵),然后对矩阵进行特征分解,为去掉冗余特征,再做投影(降维),抓住主要成分,注意和PCA的区别,PCA的目的是用最少的特征尽可能地表示最多的信息(对应前几个最大的特征值),而谱聚类是要求切图耗费的能量最少(对应前几个最小特征值)。

最后是谱聚类的一些问题:

(1)和k-means一样都要选择类别数/分组数k。

(2)选择相似性矩阵的度量方式,度量方式不同得到的图拉普拉斯矩阵不同,可能会导致不对称。

(3)可以看到,谱聚类在投影之后还是需要其他聚类方法介入,其实可以这么认为,谱聚类前面的这些工作可以看做是数据预处理的过程,而后再使用经典的聚类方法如k-means等。

(4)谱聚类对于非凸数据聚类很有用(请看前面的几个例子)。

(5)和支持向量机将数据投影到高维空间(kernel trick)相反,谱聚类将数据从高维降到低维空间;尽管这两者都是为了使得投影后的数据线性可分,但是使用的方法却是相反的。


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