Acwing 质数

1.试除法判定质数

首先回顾一下什么是质数？

对所有大于1的自然数，如果这个数的约数只包含1和它本身，则这个数被称为质数或者素数

试除法：对于一个数n，从2枚举到n-1，若有数能够整除n，则说明除了1和n本身，n还有其它约数，则n不是质数；否则，n是质数；

优化：由于一个数的约数都是成对出现的。比如12的一组约数是3，4，另一组约数是2，6。则我们只需要枚举较小的那一个约数即可。我们用d|n来表示d整除n，只要满足d|n，则一定有{n/d}|n，比如3∣12，则{12/3} | 12，因为约数总是成对出现的，我们只需要枚举小的那部分数即可，令d ≤ n/d，即，d ≤ sqrt{n}，因此对于n，只枚举2到sqrt{n}即可。
注意：for循环的结束条件，推荐写成i <= n / i。有的人可能会写成i <= sqrt(n)，这样每次循环都会执行一次sqrt函数，而这个函数是有一定时间复杂度的。而有的人可能会写成i * i <= n，这样当i很大的时候（比如i比较接近int的最大值时），i * i可能会溢出，从而导致结果错误。

Acwing 866.试除法判定质数
在这里插入图片描述
具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>  
using namespace std;//试除法：用于判断传入的整数 x 是否为素数
bool is_prime(int x){// 如果 x 小于 2，则不是素数，返回 falseif(x < 2) return false;// 从 2 开始迭代，直到 i * i <= x (相当于 i <= sqrt(x))，检查是否有因数for(int i = 2; i <= x / i; i++){// 如果 x 能被 i 整除，说明 x 不是素数，返回 falseif(x % i == 0)return false;}// 如果没有找到任何因数，返回 true，表示 x 是素数return true;
}int main(){int n, x;  cin >> n;  while(n --){  cin >> x;  // 如果 x 是素数，输出 "Yes"，否则输出 "No"if(is_prime(x)) puts("Yes");else puts("No");}return 0; 
}

2.质因数分解：试除法

对于一个整数 N 总能写成如下形式：
$N=P_{1} ^{α_1} \times P_{2} ^{α_2} \times P_{3} ^{α_3} \dots \times P_{n} ^{α_n}$
其中Pi都是质数，αi为大于0的正整数，即一个整数可以表示为多个不同质数的次方的乘积

对于一个数求质因数的过程：从2到n，枚举所有数，依次判断是否能够整除n即可。朴素法，时间复杂度O(n))。；
优化：n中只包含一个大于sqrt{n}的质因子，很好证明，如果中包含两个大于sqrt{n}的质因子，那么乘起来就大于n了。因此，在枚举的时候可以先把2到sqrt{n}的质因子枚举出来，如果最后处理完n > 1,那么这个数就是那个大于\sqrt{n}的质因子，单独处理一下就可以。时间复杂度降为O(sqrt(n))

求质因数分解，为什么枚举所有数，而不是枚举所有质数，万一枚举到合数怎么办？解释：枚举数时，对于每个能整除 n 的数 i，先把这个数除干净了（就是把这个质数的次方剔除了，表现在上式中就是逐步去除Pi^αi），再继续枚举后面的数，这样能保证，后续再遇到能整除的数，一定是质数而不是合数。

例如：求180的质因数分解

i = 2 n = 180 / 2 = 90 / 2 = 45
i = 3 n = 45 / 3 = 15 / 3 = 5
i = 4 当i是合数时，i 一定不能整除 n 。如果 4 能整除 n 那么 2 一定还能整除 n，就是在 i = 2的时候没有除干净，而我们对于每个除数都是除干净的，因此产生矛盾。
i = 5 n = 5 / 5 = 1

Acwing 867.分解质因数
在这里插入图片描述
具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>  using namespace std;// 使用试除法分解质因数
void divide(int x){// 从 2 开始迭代，直到 i * i <= x (相当于 i <= sqrt(x))，试图找到因数for(int i = 2 ; i <= x / i ; i ++){// 如果 x 能被 i 整除，则 i 是 x 的一个质因数if(x % i == 0){int s = 0;  // 计数 i 的出现次数// 用 while 循环找出 i 作为因子的次数，直到 x 不能被 i 整除while(x % i == 0) x /= i, s ++;cout << i << ' ' << s << endl;}}// 如果 x 最后还大于 1，说明剩下的 x 是一个大于 sqrt(x) 的质数if(x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; cout << endl;  
}int main(){int n, x;  cin >> n;  while(n --){  cin >> x;  divide(x); }return 0;  
}

3.筛质数–朴素法

将2到n全部数放在一个集合中，遍历2到n，每次删除当前遍历的数在集合中的倍数。最后集合中剩下的数就是质数。

解释：如果一个数p没有被删掉，那么说明在2到p-1之间的所有数，p都不是其倍数，即2到p-1之间，不存在p的约数。故p一定是质数。

时间复杂度：
$\frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \dots +\frac{n}{n} = n\ln_{}{n} < n\log_{2}{n}$
故，朴素思路筛选质数的时间复杂度大约为O(nlogn)

Acwing 868.筛质数
在这里插入图片描述
具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1000010; 
int primes[N], cnt;     // primes 数组存储所有找到的素数，cnt 计数素数的个数
bool st[N];             // st 数组标记数字是否被筛掉，false 表示未筛掉，true 表示已筛掉// 朴素筛法，用于筛选出小于等于 n 的所有素数
void get_prime(int n) {// 从 2 开始遍历到 n，逐个检查数字是否是素数for (int i = 2; i <= n; i++) {// 如果 st[i] 为 false，说明 i 没有被筛掉，因此 i 是素数if (!st[i]) primes[cnt++] = i;// 将所有 i 的倍数标记为 true，表示这些数不是素数for (int j = i + i; j <= n; j += i) {st[j] = true;}}
}int main() {int n;cin >> n;  get_prime(n);  cout << cnt << endl;  return 0;
}

4.筛质数–埃氏筛法

在上面朴素筛法的基础上，

其实不需要把全部数的倍数删掉，而只需要删除质数的倍数即可。

对于一个数p，判断其是否是质数，其实不需要把2到p-1全部数的倍数删一遍，只要删掉2到p-1之间的质数的倍数即可。因为，若p不是个质数，则其在2到p-1之间，一定有质因数，只需要删除其质因数的倍数，则p就能够被删掉。埃氏筛法筛选质数的时间复杂度大约为O{nlog(logn)}

具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>  
using namespace std;const int N = 1000010; 
int primes[N], cnt;     // primes 数组存储所有素数，cnt 记录素数的个数
bool st[N];             // st 数组用于标记每个数是否被筛掉，false 表示未筛掉// 埃拉托斯特尼筛法，找出小于等于 n 的所有素数
void get_prime(int n) {// 从 2 开始遍历，检查每个数是否是素数for (int i = 2; i <= n; i++) {// 如果 i 没有被筛掉，则 i 是一个素数if (!st[i]) {primes[cnt++] = i;  // 将素数存储到 primes 数组中，并增加素数个数计数// 将 i 的所有倍数标记为非素数，从 i * 2 开始，每次增加 ifor (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;  // 标记 i 的倍数为 true，表示它们不是素数}}
}int main() {int n;cin >> n;  // 输入一个整数 n，表示筛选范围为 2 到 nget_prime(n);  // 调用 get_prime 函数进行素数筛选cout << cnt << endl;  // 输出素数的个数return 0;
}

5.筛质数–线性筛法

大体思路和埃氏筛法一样，将合数用他的某个因数筛掉，其性能要优于埃氏筛法（在 $10^{6}$ 下两个算法差不多，在10^7下线性筛法大概快一倍）核心思路是：对于某一个合数n，其只会被自己的最小质因子给筛掉，从而避免了重复标记

设置一个primes数组，存储质数（以下叙述用pj来表示primes[j]），从2到n进行循环遍历，用数组st[]标记是否为质数。每次循环都对当前质数数组进行遍历，用其最小质因子筛除合数

当i % pj == 0时：pj 一定是 i 的最小质因子，因为我们是从小到大枚举质数的，首先遇到的满足i % p j == 0的，pj 一定是 i 的最小质因子，并且pj 一定是pj * i的最小质因子。比如，15 = 3 *5，15的最小质因子是3，则15的倍数中最小的数，其最小质因子同样是3的，15乘以最小质因子3，即45；
当i % pj != 0时：pj 一定不是 i 的质因子,并且由于是从小到大枚举质数的，那么 pj 一定小于 i 的全部质因子。那么 pj 就一定是 pj * i 的最小质因子

具体实现代码（详解版）：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1000010;  
int primes[N], cnt;     // primes 数组存储所有找到的素数，cnt 记录素数的个数
bool st[N];             // st 数组标记数字是否被筛掉，false 表示未筛掉// 线性筛法，筛选出小于等于 n 的所有素数
void get_prime(int n) {// 遍历 2 到 n，逐个判断每个数是否为素数for (int i = 2; i <= n; i++) {// 如果 st[i] 为 false，则 i 是素数，将其存入 primes 数组if (!st[i]) primes[cnt++] = i;// 遍历所有已找到的素数 primes[j]for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {// 将 i 与当前素数 primes[j] 的乘积标记为合数st[primes[j] * i] = true;// 如果 i 是 primes[j] 的倍数，停止筛选，因为后面的乘积已经包含该素数if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int main() {int n;cin >> n; get_prime(n);  cout << cnt << endl; return 0;
}

对比总结：

筛法名称	时间复杂度	空间复杂度	算法思想	优缺点
朴素筛法	O(n√n)	O(1)	对于每个数 `i`，依次检查它是否是素数，若是素数，将其倍数标记为合数。	优点：实现简单，代码直观。缺点：时间复杂度较高，筛选效率低。
埃拉托斯特尼筛法	O(n log log n)	O(n)	从 2 开始，对于每个素数 `i`，将它的所有倍数标记为合数。	优点：效率比朴素筛法高。缺点：每个合数可能被多次标记（即被多个素数筛掉）。
线性筛法	O(n)	O(n)	对每个数 `i`，只用它的最小质因子来筛选它的倍数，保证每个合数只被标记一次。	优点：筛选效率最高，时间复杂度接近线性。缺点：实现稍复杂，理解难度较高。