一、基本概念
蒙特卡洛法是一种基于随机抽样的数值计算方法，主要用于估计复杂系统的数值解。其基本原理是通过生成大量随机样本，来模拟系统的行为或求解特定的数学问题，比如积分、概率和优化等。
在应用上，蒙特卡洛法可以用于金融风险评估、物理模拟、运筹学等领域。例如，在金融中，它可以模拟不同市场条件下的资产价格变化，从而帮助投资者评估风险和回报。通过随机生成样本并进行统计分析，最终得出问题的近似解，从而有效处理不确定性。
假设我们想估计一个单位圆的面积。可以通过蒙特卡洛法来实现：
- 在一个边长为2的正方形内随机生成大量点（例如，10000个）。
- 计算这些点中落在单位圆内的点的比例。
- 单位圆的面积为π，正方形的面积为4，因此圆的面积可以通过比例来估算：面积 ≈ (落在圆内的点数 / 总点数) × 4。
通过增加点的数量，可以逐步提高估算的准确性。
二、实例求解
例题一
Matlab求解
clc, clear
x=unifrnd(0,12,[1,10000000]);
y=unifrnd(0,9,[1,10000000]);
pinshu=sum(y<x.^2 & x<=3)+sum(y<12-x & x>=3);
area_appr=12*9*pinshu/10^7
Python求解
python">import numpy as np# 生成随机数
x = np.random.uniform(0, 12, 10000000)
y = np.random.uniform(0, 9, 10000000)# 计算 pinshu
pinshu = np.sum((y < x**2) & (x <= 3)) + np.sum((y < 12 - x) & (x >= 3))# 计算近似面积
area_appr = 12 * 9 * pinshu / 10**7print(area_appr)
例题二
Matlab求解
rand('state',sum(clock)); %初始化随机数发生器
p0=0;
tic %计时开始
for i=1:10^6x=randi([0,99],1,5); %产生一行五列的区间[0,99]上的随机整数[f,g]=mengte(x);if all(g<=0)if p0<fx0=x; p0=f; %记录下当前较好的解endend
end
x0,p0
toc %计时结束
Python求解
python">import numpy as np
import time# 初始化随机数发生器
np.random.seed(int(time.time()))p0 = 0
start_time = time.time() # 计时开始def mengte(x):# 这里你需要根据实际的 mengte 函数实现来定义它# 作为示例，这里假设返回随机的 f 和 g 值f = np.random.random() * 100 # 示例 fg = np.random.random(5) - 0.5 # 示例 g，可能有负值return f, gfor i in range(10**6):x = np.random.randint(0, 100, 5) # 产生一行五列的区间[0,99]上的随机整数f, g = mengte(x)if np.all(g <= 0):if p0 < f:x0 = x.copy() # 记录下当前较好的解p0 = fprint("最佳解:", x0)
print("最佳值:", p0)
print("耗时:", time.time() - start_time) # 计时结束
