数据结构：二叉树

server/2024/9/22 7:14:41/

1.树的概念：

树是一种非线性数据结构，用于表示层次关系。树由节点组成，每个节点包含一个值和指向其子节点的指针。树的特点是每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。

树的基本术语：

  1. 节点（Node）：树的基本单位，可以存储数据。（下图中的圆圈代表一个节点）
  2. 根节点（Root）：树的最顶层节点，没有父节点。
  3. 子节点：一个节点向下直接连接的所有节点，都是该节点的子节点。（直接连接：中间没有其他节点）
  4. 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
  5. 深度（Depth）：从根节点到该节点的边数。
  6. 高度（Height）：从该节点到最远叶子节点的边数。（下图的这棵树高度为3）
  7. 子树（Subtree）：树的任一节点及其后代构成的树。
  8. 节点的度：该节点的子节点的个数。

这里的树与现实生活中的树相比，更像是一棵“倒过来的树”

 一棵树的子节点与子节点之间不能直接连接，否则不能称作树，是非树，如图：

 2.二叉树

二叉树是指，在一棵树中，如果每个节点最有两个子节点，这棵树就叫做二叉树

换一种说法，一棵树所有节点 最大的度是2，这棵树就是二叉树

 

这样的一棵树就是二叉树，而且是满二叉树，那么，什么是满二叉树？ 

2.1满二叉树 

 每个节点都有两个子节点，并且所有叶子节点在同一层。如图，D、E、F、G节点是叶子节点并且在同一层

或者说，一棵二叉树的每一个叶子节点以外的节点都有两个子节点，这些节点都“满了”，即为满二叉树

2.2完全二叉树

除了最后一层，其余每一层的节点都已满，最后一层的节点从左到右排列。满二叉树是完全二叉树的一种 

 但是如果最后一层的节点从左往右有空，就不是完全二叉树

3.顺序二叉树

顺序二叉树是使用数组来存储节点

优点：连续存储、快速随机访问

缺点：空间浪费

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;
}Heap;

不难看出，顺序二叉树的数据是一层一层、连续存放在数组中的，意味着顺序二叉树必定是完全二叉树

并且父节点与子节点与数组的下标有固定的逻辑关系：若父节点的下标为i

左子节点下标：2 * i + 1

右子节点下标：2 * i + 2

而根据这个关系，可以对这棵树进行遍历 和 排序

如果将这棵树排序，使得每个父节点都比其子节点大，就形成了堆，并且是大堆

 相反，如果每个父节点都比其子节点小，就形成了小堆

 大堆小堆只是父节点与子节点的关系，与层无关

上图大堆第三层的 46 比第二层的 25 大，但是不影响这是一个大堆，因为75 > 52 >46,满足大堆的条件

堆的性质：

大堆的根节点的值，是这个堆的最大值

小堆的根节点的值，是这个堆的最小值

 堆相关的接口

 头文件：

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;
}Heap;//交换
void swap(int* a, int* b);//向下调整建堆
void AdjustDown(int* a, int parent, int n);
//向上调整建堆
void AdjustUp(int* a, int child, int n);// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 计算数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

源文件 ：

void swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}void AdjustUp(int* a, int child, int n)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void AdjustDown(int* a, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1]){++child;}if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = (parent * 2) + 1;}else{break;}}
}// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{assert(hp);hp->_a = NULL;hp->_capacity = hp->_size = 0;
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);hp->_size = hp->_capacity = 0;free(hp);
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp->_size == hp->_capacity){HPDataType newcapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}hp->_a = tmp;hp->_capacity = newcapacity;}hp->_a[hp->_size] = x;++hp->_size;AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1, hp->_size);
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size > 0);swap(&hp->_a[hp->_size - 1], &hp->_a[0]);--hp->_size;AdjustDown(hp->_a, 0, hp->_size);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size > 0);return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->_size;
}// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->_size == 0 ? 1 : 0;
}

 堆排序：

堆排序是一种比较高效的排序 时间复杂度为  O(log2 n)  以2为底，n的对数

//堆排序
void HeapSort(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{assert(hp);hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (hp->_a == NULL){perror("malloc fail");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){hp->_a[i] = a[i];}hp->_size = hp->_capacity = n;for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(hp->_a, i, hp->_size);}
}

4.链式二叉树

 链式二叉树通过指针，将一个一个的节点连接

优点：空间浪费小

缺点：不能随机访问

链式二叉树的节点：

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;struct BinaryTreeNode* _left;struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

4.1 二叉树的销毁： 


void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
    //后序遍历
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(&(*root)->_left);
    BinaryTreeDestory(&(*root)->_right);
    free(*root);
    *root == NULL;
    return;
}

4.2二叉树节点个数 

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
    {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right) + 1;
} 

4.3二叉树叶子节点个数 

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
    {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
} 

 4.4二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
    if (root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    if (k == 1)
    {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root, k - 1);
} 

4.5二叉树查找值为x的节点 

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
    if (root == NULL)
    {
        return NULL;
    }
    if (root->_data == x)
    {
        return root;
    }
    BTNode* pleft = BinaryTreeFind(root->_left, x);
    if (pleft)
        return pleft;
    BTNode* pright = BinaryTreeFind(root->_right, x);
    if (pright)
        return pright;
    return NULL;
} 

4.6 二叉树的前中后序遍历

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    printf("%d ", root->_data);
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
    printf("%d ", root->_data);
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        return;
    }
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
    printf("%d ", root->_data);
} 

4.7二叉树的层序遍历 

需要使用队列实现 

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
    Queue qu;
    BTNode* cur;

    QueueInit(&qu);

    QueuePush(&qu, root);

    while (!QueueIsEmpty(&qu))
    {
        cur = QueueTop(&qu);

        putchar(cur->_data);

        if (cur->_left)
        {
            QueuePush(&qu, cur->_left);
        }

        if (cur->_right)
        {
            QueuePush(&qu, cur->_right);
        }

        QueuePop(&qu);
    }

    QueueDestory(&qu);
}

头文件： 

typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;struct BinaryTreeNode* _left;struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

源文件： 

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{//后序遍历if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(&(*root)->_left);BinaryTreeDestory(&(*root)->_right);free(*root);*root == NULL;return;
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL && root->_right == NULL){return 1;}return BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL && root->_right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->_data == x){return root;}BTNode* pleft = BinaryTreeFind(root->_left, x);if (pleft)return pleft;BTNode* pright = BinaryTreeFind(root->_right, x);if (pright)return pright;return NULL;
}
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->_data);BinaryTreePrevOrder(root->_left);BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreePrevOrder(root->_left);printf("%d ", root->_data);BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreePrevOrder(root->_left);BinaryTreePrevOrder(root->_right);printf("%d ", root->_data);
}
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* src, int n, int* pi)
{if (*pi >= n || src[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}BTNode* cur = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));cur->_data = src[*pi];(*pi)++;cur->_left = BinaryTreeCreate(src, n, pi);cur->_right = BinaryTreeCreate(src, n, pi);return cur;
}void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue qu;BTNode* cur;QueueInit(&qu);QueuePush(&qu, root);while (!QueueIsEmpty(&qu)){cur = QueueTop(&qu);putchar(cur->_data);if (cur->_left){QueuePush(&qu, cur->_left);}if (cur->_right){QueuePush(&qu, cur->_right);}QueuePop(&qu);}QueueDestory(&qu);
}

http://www.ppmy.cn/server/120170.html

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