LeetCode刷题实战4：寻找两个正序数组的中位数

题目内容

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

解题方法

解题思路一

暴力求解：

b比较直接的想法是直接把两个数组合并成一个数组，但是时间复杂度肯定不满足要求。

解题思路二

二分查找：

因为题目要求算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) ，顺序遍历肯定是不行的，只能用类似二分查找的思路来解这个题目。

根据中位数的定义：

当 m+n是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素；

当 m+n是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素和第 (m+n)/2+1个元素的平均值。

因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k小的数，其中 k 为 (m+n)/2或 (m+n)/2+1。

所以面试题也可以转换成寻找两个有序数组中的第 k小的数。

有以下三种情况需要特殊处理：

如果 A[k/2−1]\text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 或者 B[k/2−1]\text{B}[k/2-1]B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 kkk 的值，而不能直接将 kkk 减去 k/2k/2k/2。

如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 kkk 小的元素。

如果 k=1k=1k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {int length1 = nums1.length;int length2 = nums2.length;int totalLength = length1 + length2;if (totalLength % 2 == 1) {// 奇数int midIndex = totalLength / 2;double midValue = findKElement(nums1, nums2, midIndex + 1);return midValue;} else {// 偶数int midIndex1 = totalLength / 2 - 1;int midIndex2 = totalLength / 2;int midValue1 = findKElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1);int midValue2 = findKElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1);return (midValue1 + midValue2) / 2.0;}}/*** 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1]* 进行比较* 这里的 "/" 表示整除* nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个* nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个* 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <=* k-2 个* 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素* 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的* nums1 数组* 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的* nums2 数组* 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数*/public int findKElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {int length1 = nums1.length;int length2 = nums2.length;int index1 = 0;int index2 = 0;while (true) {// 边界情况if (index1 == length1) {return nums2[index2 + k - 1];}if (index2 == length2) {return nums1[index1 + k - 1];}if (k == 1) {return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);}// 正常情况int half = k / 2;int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;int v1 = nums1[newIndex1];int v2 = nums2[newIndex2];if (v1 <= v2) {k -= (newIndex1 - index1 + 1);index1 = newIndex1 + 1;} else {k -= (newIndex2 - index2 + 1);index2 = newIndex2 + 1;}}}

题解参考了官方的题解方法，链接：https://leetcode.cn/problems/median-of-two-sorted-arrays/solutions/258842/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/

解题思路三

划线：

（上面图片来自网络）

思路是在两个数组上画一条线，思路是比较简单，但是特殊情况的考虑和边界的考虑是比较困难的，非常容易出错。

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {if (nums1.length > nums2.length) {return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);}int m = nums1.length;int n = nums2.length;int left = 0, right = m;// median1：前一部分的最大值// median2：后一部分的最小值int median1 = 0, median2 = 0;while (left <= right) {// 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]// 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]int i = (left + right) / 2;int j = (m + n + 1) / 2 - i;// nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]int nums_im1 = (i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]);int nums_i = (i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]);int nums_jm1 = (j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1]);int nums_j = (j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j]);if (nums_im1 <= nums_j) {median1 = Math.max(nums_im1, nums_jm1);median2 = Math.min(nums_i, nums_j);left = i + 1;} else {right = i - 1;}}return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;}
}