🎯要点

1. 对比三种方式计算
2. 读取二维和三维三角形四边形和六面体网格
3. 运动学奇异点处理
4. 医学图像成像组学分析
5. 特征敏感度增强
6. 机械臂路径规划和手臂空间操作变换
7. 苹果手机物理稳定性中间轴定理
   

Python雅可比矩阵

多变量向量值函数的雅可比矩阵推广了多变量标量值函数的梯度，而这又推广了单变量标量值函数的导数。换句话说，多变量标量值函数的雅可比矩阵是其梯度（的转置），而单变量标量值函数的梯度是其导数。

在函数可微的每个点，其雅可比矩阵也可以被认为是描述函数在该点附近局部施加的“拉伸”、“旋转”或“变换”量。例如，如果使用 $\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)=f(x,y)$ 平滑变换图像，则雅可比矩阵 $J_f(x,y)$，描述了$(x,y)$邻域中的图像如何变换。如果函数在某点可微，其微分在坐标系中由雅可比矩阵给出。然而，函数不需要可微才能定义其雅可比矩阵，因为只需要存在其一阶偏导数。

考虑以下向量函数，该函数将 $n$ 维向量 $x\in R^n$ 作为输入，并将该向量映射到 $m$ 维向量：
$$f(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\\ f_2\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\\ ⋮\\ f_m\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\end{array}\right]$$

其中向量 $x$ 定义为
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
非线性向量函数 $f$ 产生 $m$ 维向量
$$\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\\ f_2\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\\ ⋮\\ f_m\left(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\right)\end{array}\right]$$
其条目是 $m$ 函数 $f_i,i=1,2,\dots ,n$，将向量 $x$ 的条目映射为标量数。

函数 $f(\cdot )$ 的雅可比矩阵是 $m$ × $n$ 维偏导数矩阵，定义为
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$$
该矩阵的第一行由 $f_1(\cdot )$ 分别相对于 $x_1、x_2、\dots 、x_n$ 的偏导数组成。类似地，该矩阵的第二行由 $f_2(\cdot )$ 分别相对于 $x_1、x_2、\dots 、x_n$ 的偏导数组成。以同样的方式，我们构造雅可比矩阵的其他行。

在这里，我们展示了用于符号计算雅可比矩阵和创建 Python 函数的 Python 脚本，该函数将返回给定输入向量 $x$ 的雅可比矩阵的数值。为了验证 Python 实现，让我们考虑以下测试用例函数
$$f=\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\\ \sin \left(x_1\right)\\ \cos \left(x_3\right)\\ x_3{e}^{x_4}\end{array}\right]$$
其中 $x$ 是
$$x=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$$
且
$$\begin{array}{rl}& f_1\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=x_1{x}_2\\ & f_2\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\sin \left(x_1\right)\\ & f_3\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\cos \left(x_3\right)\\ & f_4\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=x_3{e}^{x_4}\end{array}$$
该函数的雅可比行列式是
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\left[\begin{array}{llll}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \frac{\partial f_1}{\partial x_3}& \frac{\partial f_1}{\partial x_4}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2}{\partial x_3}& \frac{\partial f_2}{\partial x_4}\\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1}& \frac{\partial f_3}{\partial x_2}& \frac{\partial f_3}{\partial x_3}& \frac{\partial f_3}{\partial x_4}\\ \frac{\partial f_4}{\partial x_1}& \frac{\partial f_4}{\partial x_2}& \frac{\partial f_4}{\partial x_3}& \frac{\partial f_4}{\partial x_4}\end{array}\right]$$
通过计算这些偏导数，我们得到
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_2& x_1& 0& 0\\ \cos \left(x_1\right)& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\sin \left(x_3\right)& 0\\ 0& 0& e^{x_4}& x_3{e}^{x_4}\end{array}\right]$$

import numpy as np
from sympy import *init_printing()x=MatrixSymbol('x',4,1)
f=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)
testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)

定义符号向量“x”如下

x=MatrixSymbol('x',4,1)

非线性向量函数“f”定义为

=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])

JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)

测试向量处评估雅可比行列式。

testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)

存储在“JacobianNumerical”中的结果是一个 NumPy 数值数组（矩阵），可用于进一步计算。

示例：TensorFlow雅可比矩阵

%tensorflow_version 1.x
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import SGD
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
import tensorflow as tfnp.random.seed (245)
nobs =10000x1= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x2= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x3= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x4= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x5= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)X= np.c_[np.ones((nobs ,1)),x1,x2,x3,x4,x5]y= np.cos(x1) + np.sin(x2) + 2*x3 + x4 + 0.01*x5 + np.random.normal(size=nobs , scale=0.01)LR=0.05Neuron_Out=1
Neuron_Hidden1=64
Neuron_Hidden2=32Activate_output='linear'
Activate_hidden='relu' Optimizer= SGD(lr=LR)
loss='mean_squared_error'from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train , x_test , y_train , y_test = train_test_split(X, y, test_size =0.15, random_state =77)from tensorflow import set_random_seed
set_random_seed (245)sess = tf.InteractiveSession()
sess.run(tf.initialize_all_variables())model_ANN= Sequential()model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden1, activation=Activate_hidden, input_shape=(6,), use_bias=True))
model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden2, activation=Activate_hidden, use_bias=True))model_ANN.add(Dense(Neuron_Out, activation=Activate_output,use_bias=True))
model_ANN.summary()model_ANN.compile(loss=loss, optimizer=Optimizer, metrics=['accuracy'])history_ANN=model_ANN.fit(
x_train, 
y_train, 
epochs=125)def jacobian_tensorflow(x):jacobian_matrix = []for m in range(Neuron_Out):grad_func = tf.gradients(model_ANN.output[:, m],model_ANN.input)gradients = sess.run(grad_func, feed_dict={model_ANN.input: x})  jacobian_matrix.append(gradients[0][0,:])return np.array(jacobian_matrix)jacobian_tensorflow(x_train)

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