＜C++＞红黑树

目录

1. 红黑树的概念

2. 红黑树的性质

3. 红黑树节点的定义

4. 红黑树的插入操作

5. 红黑树的验证

6. 红黑树与AVL树的比较

7. 红黑树的删除

红黑树比AVL树更优一些，因为AVL要求太严格，左右高度差不超过1，而红黑树采用颜色来控制，只要求最长路径不超过最短路径的2倍，属于近似平衡

1. 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

在高度方面大致是2logN，比AVL高2倍，但是logN效率很高，对于10亿的数据量，也仅仅是30高度和60高度，这种常数级的效率几乎完全相同！

所以，红黑树的优点就是高度没有AVL要求那么严格，AVL由于高度的严格要求，它的插入和删除需要大量的旋转，而红黑树就少许多，这就是红黑树的优势

2. 红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的，即任何路径都没有连续的红色节点
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，即每条路径上黑色节点的数量相等
每个叶子结点（NIL节点）都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

如果有一个路径它的节点数最少，那么这个最短路径一定是全黑的！红色的出现会导致节点数增加
对于最长路径一定是红黑相间的！因为每一条路径的黑色节点数量相同，并且红色的孩子一定是黑色，所以就可以在黑色节点之间插入红色，来增加节点数

3. 红黑树节点的定义

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:private:Node* root = nullptr;
}

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

新增节点要为红色，因为红色只会影响当前路径，但是如果是黑色，那么会影响所有路径，因为每个路径黑节点数量要相同。所以我们挑一个影响代价最小的方案，即新增节点为红色，此时只需要修改当前路径即可保证结构正确

4. 红黑树的插入操作

检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，要开始调色，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定：cur为当前节点，p为父节点（parent），g为祖父节点（grandfather），u为叔叔节点（uncle）

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红（uncle存在且为红：变色，继续向上更新）

解决方式：将 p,u 改为黑， g 改为红，然后把 g 当成 cur ，继续向上调整

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// u存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}}}

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在（uncle不存在：旋转+变色）

旋转策略：

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色：p变黑，g变红

else // u不存在 或 存在且为黑
{if (cur == parent->_left){//     g//   p// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//   p//		cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;
}

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u为黑（uncle存在且为黑：旋转+变色）（旋转就是AVL中单旋、双旋操作）

uncle是黑的，表明cur一定不是新增节点，因为每条路径一定的黑节点数量一定相同，所以此情况一定是从下往上更新上来的）

旋转+变色策略：

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，再对g做右单旋
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，再对g做左单旋
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转（变为情况二）
根据单旋还是双旋进行变色。单旋：p、g变色，p变黑，g变红；双旋：cur变黑，g变红

情况二、三都不需要往上继续更新，因为这个结构更新后的根是黑色，不管上面存不存在、或者存在，都不会影响

小结：

新增节点应为红色
出现连续的红色时，根据uncle分三种情况
如果不是旋转的情况，循环往上继续更新（如果继续出现连续的红才会进入循环）；如果是旋转的情况，不用继续往上更新

#pragma once
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// u存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // u不存在 或 存在且为黑{if (cur == parent->_left){//     g//   p// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//   p//		cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else // parent == grandfather->_right{Node* uncle = grandfather->_left;// u存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{if (cur == parent->_right){// g//	  p//       cRotateL(grandfather);grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else{// g//	  p// cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RotateL(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft){curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}}void RotateR(Node* parent){++_rotateCount;Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;parent->_left = curright;if (curright)curright->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}}bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark){if (root == nullptr){if (blacknum != benchmark)return false;return true;}if (root->_col == BLACK){++blacknum;}if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;return false;}return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)&& CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;if (root->_col != BLACK){return false;}// 基准值int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)++benchmark;cur = cur->_left;}return CheckColour(root, 0, benchmark);}int Height(){return Height(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}private:Node* _root = nullptr;public:int _rotateCount = 0;
};

5. 红黑树的验证

检验：

根节点是黑色
不能有连续的红节点（以子判父更方便，如果从父亲视角看，要分问情况）
每条路径的黑节点数量相等（先算出一个基准值，例如最左路径上黑节点的数量）

	bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark){if (root == nullptr){if (blacknum != benchmark)return false;return true;}if (root->_col == BLACK){++blacknum;}if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;return false;}return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)&& CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;if (root->_col != BLACK){return false;}// 基准值int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)++benchmark;cur = cur->_left;}return CheckColour(root, 0, benchmark);}int Height(){return Height(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

int main()
{const int N = 10000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(i);}RBTree<int, int> rbt;for (auto e : v){rbt.Insert(make_pair(e, e));//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}return 0;
}

6. 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( logN )，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多

int main()
{const int N = 100000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand());}RBTree<int, int> rbt;for (auto e : v){rbt.Insert(make_pair(e, e));//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}cout << rbt.IsBalance() << endl;cout << rbt.Height() << endl;cout << rbt._rotateCount << endl;AVLTree<int, int> avlt;for (auto e : v){avlt.Insert(make_pair(e, e));//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}cout << avlt.IsBalance() << endl;cout << avlt.Height() << endl;cout << avlt._rotateCount << endl;return 0;
}

红黑树的应用

1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set

2. Java 库

3. linux内核

4. 其他一些库

7. 红黑树的删除

红黑树 - _Never_ - 博客园 (cnblogs.com)

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2. 红黑树的性质

3. 红黑树节点的定义

4. 红黑树的插入操作

5. 红黑树的验证

6. 红黑树与AVL树的比较

7. 红黑树的删除

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