拓扑排序（Topological Sorting）是针对有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）的一种排序方式，它将图中的顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若存在边u->v，则u在序列中出现在v的前面。换句话说，拓扑排序是对有向无环图顶点的一种线性排序，它使得对于从顶点u到顶点v的每一条有向边u->v，顶点u都在顶点v之前。

拓扑排序的算法步骤

1、选择一个入度为0的顶点：在图的所有顶点中，找到入度为0（即没有边指向它）的顶点。这样的顶点可以作为拓扑排序的起始点，因为没有任何顶点指向它，所以它不会被其他顶点所依赖。

2、将该顶点加入结果序列：将找到的入度为0的顶点加入到拓扑排序的结果序列中，并从图中删除该顶点及其发出的所有边。

3、重复上述步骤：继续在图中寻找入度为0的顶点，并将其加入到结果序列中，直到图中所有顶点都被加入结果序列或图中没有入度为0的顶点为止。

4、检查图中是否还有剩余边：如果图中还剩下边，则说明图中存在环，因为至少有一个顶点没有被加入到结果序列中，但已经没有入度为0的顶点可以选择了，这意味着图中存在至少一个环使得这些顶点相互依赖。此时，拓扑排序不可能进行。

拓扑排序的实现

拓扑排序可以通过多种方式实现，如使用入度数组（或称为度表）结合队列或栈。以下是一个使用队列实现的简单示例：

1、计算所有顶点的入度：遍历图中的每一条边，对每条边u->v，将顶点v的入度加1。

2、将所有入度为0的顶点加入队列：遍历所有顶点，将入度为0的顶点加入到队列中。

3、进行拓扑排序：当队列不为空时，从队列中取出一个顶点v，将其加入到结果序列中，并遍历顶点v的所有邻接点u，将u的入度减1。如果u的入度变为0，则将u加入队列。

4、检查结果：如果结果序列中的顶点数等于图中的顶点数，则拓扑排序成功；否则，图中存在环，拓扑排序失败。

拓扑排序的应用

拓扑排序在多个领域都有广泛的应用，如：

1、任务调度：在任务调度中，任务之间可能存在依赖关系，拓扑排序可以帮助我们确定任务的执行顺序。

2、编译器的依赖分析：在编译器中，源文件之间可能存在包含关系，拓扑排序可以帮助我们确定源文件的编译顺序。

3、课程安排：在大学课程安排中，课程之间可能存在先修关系，拓扑排序可以帮助我们确定课程的学习顺序。