【数据结构入门】二叉树之堆排序及链式二叉树

server/2024/9/23 4:29:47/

目录

前言

一、堆排序

1.概念

2.堆排序思想

3.具体步骤

4.实现

5.复杂度

二、堆的应用——TopK问题

三、链式二叉树

1.二叉树创建

 2.二叉树遍历

1)前序、中序以及后序遍历

2)层序遍历

3.结点个数以及高度

1)结点个数:

 2)结点高度

  3)二叉树第K层结点的个数

 4)查找值为x的结点

4. 判断二叉树是否为完全二叉树

5.二叉树的销毁

总结


前言

堆排序是一种使用堆数据结构的排序算法堆是一种完全二叉树,且满足堆属性,即每个节点的值都大于(或小于)它的子节点的值。

二叉树的遍历有三种方式:前序遍历、中序遍历、后序遍历。这三种遍历方式都是深度优先遍历。

一、堆排序

1.概念

堆排序是一种基于堆数据结构实现的排序算法它将待排序的序列构建成一个大顶堆(或小顶堆),然后依次取出堆顶元素,将其与最后一个元素交换位置,并不断调整堆使其重新满足堆的性质,最终得到一个有序的序列。

2.堆排序思想

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:

1. 建堆
        升序:建大堆
        降序:建小堆

注意:升序排列时,并不是建小堆,而是建大堆,堆排列都是从后往前排的,如果建小堆还需要多次交换数组。

建堆时可以使用向上调整也可以使用向下调整,但是向上调整的时间复杂度更高为Nlog(N),而向下调整建堆的时间复杂度更低,为N,所以采用向下调整建堆。


2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序

3.具体步骤

  1. 构建初始堆:将待排序序列构建成一个大顶堆。从最后一个非叶子节点开始,依次对每个节点进行调整,使其满足大顶堆的性质(父节点的值大于子节点的值)。
  2. 交换堆顶元素和最后一个元素:将堆顶元素与最后一个元素交换位置,并缩小堆的范围(即去掉最后一个元素)。
  3. 调整堆:对交换后的堆进行调整,使其重新满足大顶堆的性质。
  4. 重复步骤2和3,直到堆的范围缩小至1,即所有元素都已经排序完成。

4.实现

//左右子树都是大堆或者小堆
void ADjustDown(HPDataType* a, int sz, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < sz){//选出左右孩子中大的一个//这里child+1的判断在前,不要先访问再判断//这里a[child + 1] > a[child] 建大堆用>, 建小堆用<if (child + 1 < sz && a[child + 1] < a[child]){//这地方可能会越界++child;}//这里a[child] > a[parent] 建大堆用>, 建小堆用<if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int sz)
{//1.建堆 -- 向上调整建堆   NlogN//左右子树必须是大堆/小堆/*for (int i = 1; i < sz; i++){ADjustUp(a, i);}*///2.向下调整建堆  N//左右子树必须是大堆/小堆for (int i = (sz - 1 -1) / 2; i >= 0; i--){ADjustDown(a, sz, i);}int end = sz - 1;while (end > 0){Swap(&a[end], &a[0]);ADjustDown(a, end, 0);--end;}
}

 测试代码:

int main()
{int a[10] = { 2, 1, 5, 4, 7, 9, 8, 3, 6, 0};//对数组排序int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);HeapSort(a, sz);for (int i = 0; i < sz; i++){printf("%d ", a[i]);}return 0;
}

 测试结果:

5.复杂度

堆排序的时间复杂度为O(nlogn),其中n为待排序序列的长度。堆排序是一种原地排序算法,不需要额外的存储空间,但由于堆的构建过程需要占用一定的空间,所以它并不是稳定的排序算法

二、堆的应用——TopK问题

TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大

比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆

    • 前k个最大的元素,则建小堆

    • 前k个最小的元素,则建大堆

  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;void ADjustDown(HPDataType* a, int sz, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < sz){//选出左右孩子中大的一个//这里child+1的判断在前,不要先访问再判断//这里a[child + 1] > a[child] 建大堆用>, 建小堆用<if (child + 1 < sz && a[child + 1] > a[child]){//这地方可能会越界++child;}//这里a[child] > a[parent] 建大堆用>, 建小堆用<if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void PrintTopk(const char* file, int k)
{//1.建堆 -- 用a中的前k个元素建小堆int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(topk);FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}//读出前k个数据建小堆for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &topk[i]);}for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){ADjustDown(topk, k, i);}//2.将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则替换int val = 0;int ret = fscanf(fout, "%d", &val);while (ret != EOF){if (val > topk[0]){topk[0] = val;ADjustDown(topk, k, 0);}ret = fscanf(fout, "%d", &val);}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", topk[i]);}printf("\n");free(topk);topk = NULL;
}void CreatNData()
{//造数据int n = 10000;srand((unsigned int)time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){int x = rand() % 10000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}int main()
{// 在测试时可以先运行第一个函数,创造好数据,// 然后修改k条数据,再运行第二步,在监视窗口观察CreatNData();PrintTopk("data.txt", 10);return 0;
}

三、链式二叉树

只有完全二叉树的实现使用数组比较方便,因为很少造成空间浪费。其他二叉树使用链式结构更节省空间,但是由于链式二叉树的构造比较麻烦,所以这里只介绍链式二叉树的遍历。

1.二叉树创建

在操作二叉树前,需要创建一颗二叉树,这里为了简单直接手动创建一颗二叉树

typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);//BTNode* node7 = BuyNode(7);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;//node2->right = node7;return node1;
}

 2.二叉树遍历

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的结点进行相应的操作,并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。

1)前序、中序以及后序遍历

按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。

  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

前序遍历图示:

 前序遍历实现:

void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}

 前序遍历递归图示:

 后序遍历实现:

void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}

 后序遍历:

void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

前序遍历结果:1 2 3 4 5 6

中序遍历结果:3 2 1 5 4 6

后序遍历结果:3 2 5 6 4 1

2)层序遍历

二叉树的根结点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发,首先访问第一层的树根结点,然后从左到右访问第2层上的结点,接着是第三层的结点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

 层序遍历的实现可以借助队列,利用队列先进先出的特点,如果根不为空,就入队;如果左子树或右子树不为空就入队,直到队列为空。

void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->data);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestory(&q);
}

3.结点个数以及高度

1)结点个数:

注意:节点个数的返回,如果是要返回变量一定要注意,函数栈帧的会存储各自的变量,因此最好传入变量地址。

下面介绍不传变量的写法:

//分治思想
int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 :TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

 2)结点高度

要进行结点的递归比较时,存储变量值可以极大的提高效率

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}//记录数据,可以减少很多复杂度,提高效率int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

  3)二叉树第K层结点的个数

根结点为第一层

 当前树的第k层个数=左子树的第k-1层个数 +左子树的第k-1层个数

int TreeLevelK(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return TreeLevelK(root->left, k - 1)+TreeLevelK(root->right, k - 1);}

 4)查找值为x的结点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode* lret = BinaryTreeFind(root->left, x);if (lret){return lret;}BTNode* rret = BinaryTreeFind(root->right, x);if (rret){return rret;}//左右树都没有,返回空return NULL;
}

4. 判断二叉树是否为完全二叉树

完全二叉树按层序走,非空节点一定是连续的。

bool TreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);//为空则不入if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}else{QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}}//判断是不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);//后面有非空,说明非空结点不是完全连续if (front){QueueDestory(&q);return false;}}QueueDestory(&q);return true;
}

5.二叉树的销毁

采用后序遍历,不用存储根结点的位置。

void TreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}TreeDestory(root->left);TreeDestory(root->right);free(root);
}

总结

  • 堆排序的基本思想是先将待排序的序列构建成一个最大堆(或最小堆),然后将根节点与最后一个节点交换,再将剩下的 n-1 个节点重新构建成一个最大堆(或最小堆),如此循环,直到所有节点都被交换到适当的位置,从而得到一个有序序列。
  • 前序遍历先访问根节点,然后递归地前序遍历左子树,再递归地前序遍历右子树。
  • 中序遍历先递归地中序遍历左子树,然后访问根节点,再递归地中序遍历右子树。
  • 后序遍历先递归地后序遍历左子树,然后递归地后序遍历右子树,最后访问根节点。
  • 二叉树的遍历时间复杂度均为 O(n),其中 n 是二叉树的节点数量。

http://www.ppmy.cn/server/106953.html

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