描述一下SIFT特征提取算法的工作原理

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SIFT（Scale-Invariant Feature Transform，尺度不变特征变换）是由 David Lowe 于 1999 年提出的一种特征提取算法，用于检测和描述图像中的局部特征点。SIFT 特征具有旋转、尺度和光照不变性，因此在各种计算机视觉任务中广泛应用，如图像匹配、物体识别等。

SIFT 的工作原理主要分为四个步骤：

1. 尺度空间极值检测（Scale-Space Extrema Detection）

构建尺度空间：首先，通过对图像进行高斯模糊，构建一系列尺度空间（scale-space），每个尺度对应不同的高斯模糊程度。具体地，对于一个图像 $I(x, y)$ ，在尺度空间中生成的模糊图像 L(x,y,σ) 可以表示为：
$L(x, y, \sigma) = G(x, y, \sigma) * I(x, y)$
其中， $G(x, y, \sigma)$ 是高斯核， $\sigma$ 表示尺度， $*$ 是卷积操作。
高斯差分（DoG）金字塔：通过计算不同尺度之间的差分，得到高斯差分（Difference of Gaussian, DoG）金字塔：
$D(x, y, \sigma) = L(x, y, k\sigma) - L(x, y, \sigma)$
这里，k 是一个常数，通常取 $\sqrt{2}$ 。DoG 金字塔用于检测不同尺度下的关键点。
检测极值点：在 DoG 金字塔中，每个像素点与其 8 个邻域像素（同一尺度）及上下两个尺度的 18 个像素进行比较，如果该点在这些 26 个像素中是极值点，则将其标记为候选关键点。

2. 关键点精确定位（Keypoint Localization）

亚像素级精确定位：对候选关键点进行亚像素级别的精确定位，通过在 DoG 函数的泰勒展开近似模型上计算偏导数和二阶导数矩阵，对关键点的位置进行细化。
去除低对比度点和边缘响应点：对比度较低的点容易受噪声影响，因此需要去除。同时，利用 Hessian 矩阵去除边缘响应点，因为这些点的稳定性较差。

3. 方向分配（Orientation Assignment）

计算梯度方向直方图：对于每个精确定位后的关键点，在其邻域内计算每个像素的梯度幅度和方向，并根据方向划分直方图。通常将梯度方向分成 36 个方向（每 10° 一个区间）。
赋予主要方向：主方向为直方图中最高峰对应的方向，同时可以赋予其他峰值方向以生成新的关键点，从而保证 SIFT 特征的旋转不变性。