1.夹逼准则

定义：设{$a_n$}, {$b_n$}, {$c_n$}为实数列，$a_n\le b_n\le c_n$, 且
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=l$$, 则$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=l$$

例1：$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+......+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})$$

解：令$$b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+......+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$$

由$$\frac{5}{8}<\frac{5}{7}<\frac{5}{6}$$,
可得出思路:
令$$a^n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+......+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$$
$$c^n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+......+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$$

则：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1$$
∵$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=1$$ ,且$a_n\le b_n\le c_n$，所以
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=1$$

2.两个重要极限

2.1 $$\frac{0}{0}型⟹\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$$

通用公式： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin△}{△}=1$$

例1： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin3x}{x}$$
解： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin3x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin3x}{3x}\cdot 3=1\cdot 3=3$$

对于$$\frac{0}{0}型$$后面可以使用洛必达法则求极限

2.2第二重要极限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e或\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

通用公式：$$\frac{1}{x}⟹\underset{△\to 0}{\lim }(1+△{)}^{\frac{1}{△}}=e$$

例1：$$\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x{)}^{\frac{1}{x}},求其极限值？$$,求其极限值？
解：$$将x=0代入：可判断为1^{\infty }型$$
所以要用第二极限求解：
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x{)}^{\frac{1}{x}}& =\underset{x\to 0}{\lim }[1+(-2x){]}^{\frac{1}{-2x}\cdot -2x\cdot \frac{1}{x}}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{-2x\cdot \frac{1}{x}}\\ & =e^{-2}\end{array}$$