矩阵的对角化以及矩阵的n次幂

（特征向量与特征值的应用）

        在上一篇文章中，我记录了我所学习的矩阵的特征向量和特征值，所关注的是那些矩阵A作用于向量x后，方向不发生改变的x(仅有尺度的缩放)。
线性代数 --- 特征值与特征向量（上）-CSDN博客文章浏览阅读1.1k次，点赞9次，收藏21次。文章介绍了特征向量与特征值的基本概念，并给出了详细的说明图示和例子。至于如何求解矩阵的特征向量与特征值，我在下一篇文章中给出了说明。https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/136455766

此外，我也在另一篇文章中提到了一般矩阵的特征值与特征向量的求法。 线性代数 --- 特征值与特征向量（下）-CSDN博客文章浏览阅读1.3k次，点赞31次，收藏19次。本文介绍了求解一般矩阵的特征向量和特征值的具体方法。https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/136608493

        这里，我打算记录一下矩阵对角化的概念，作为我的学习笔记。既然已经知道了如何求出矩阵的特征向量和特征值现，那么找到这些东西有什么用呢？

        假设一个n维方阵A经过计算后得到n个线性无关的特征向量x1，x2...，xn，对应n个λ1，λ2...，λn。我们有：

        现在，我们把这些特征向量都放到一个矩阵中，合成一个新的矩阵X。看看矩阵A乘以矩阵X后会怎么样。首先，我们按照如下方式构建一个新矩阵X，我们称之为特征向量矩阵(Eigen-vector matrix)。因为该矩阵的每一列都是一个特征向量，所以用大写的X表示：

        令A乘以X，根据矩阵的乘法原则，矩阵A与矩阵X的乘法可以看成是把矩阵X各列看成权重的线性组合的结果(这句话不好懂，可以看看下面的图示)

得到：

        注意，之前用特征向量构造的新矩阵X，又再一次出现了。与此同时，他的旁边出现了一个新矩阵，这是一个对角矩阵，主对角线上的元素全是特征值λ。这也是一个新矩阵，称之为特征值矩阵(Eigen-value matrix)。因其主对角线上的元素都是特征值，所以用大写的（即，大写的λ）表示：

 最终得到：

The Key Equation 

         又因为，我之前所构建的特征向量矩阵X是由n个线性无关的特征向量组成的，列与列之间线性无关。因此，矩阵X是可逆的。现在我们把等式两边同时左乘一个X的逆矩阵，即完成了矩阵A的对角化：

（对角化公式）

        反过来，如果把等式两边同时右乘X的逆矩阵，就得到了矩阵A的又一种分解公式（之前学过的分解有基于高斯消元的LU分解，基于gram-schmidt正交化的QR分解）：

 

（矩阵A的分解公式）

注意，这一切操作都基于一个前提：矩阵A有n个线性无关的特征向量

什么样的矩阵可可以角化？

        当n维方阵A有n个不同的特征值时，矩阵A才能用上述方式对角化。因为，如果A有n个不同的特征值，那么一定对应有n个相互独立的特征向量。但反过来就不一定成立，比如说单位矩阵有n个不同的特征向量，但他的特征值都是1。

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 （全文完） 

--- 作者，松下J27

参考文献(鸣谢)：

1，Lec22_对角化和矩阵乘幂_哔哩哔哩_bilibili

2，《Introduction to Linear algebra》--- Gilbert strang，page 304

（配图与本文无关） 

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