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解析法(符号计算)需要为每一个可能的函数及其组合编写解析表达式,以推导出其导数。这通常涉及到实现微积分中的各种求导规则和公式。解析法的目的是通过符号操作直接推导出导数表达式,因此需要涵盖广泛的函数类型和运算。
以下是一些常见的函数及其解析求导的规则:
1. 多项式函数
对于多项式函数 f ( x ) = a x n f(x) = ax^n f(x)=axn,其导数为:
f ′ ( x ) = n a x n − 1 f'(x) = nax^{n-1} f′(x)=naxn−1
2. 指数函数
对于指数函数 f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex,其导数为:
f ′ ( x ) = e x f'(x) = e^x f′(x)=ex对于一般形式 f ( x ) = a x f(x) = a^x f(x)=ax,其导数为:
f ′ ( x ) = a x ln ( a ) f'(x) = a^x \ln(a) f′(x)=axln(a)
3. 对数函数
对于对数函数 f ( x ) = ln ( x ) f(x) = \ln(x) f(x)=ln(x),其导数为:
f ′ ( x ) = 1 x f'(x) = \frac{1}{x} f′(x)=x1
4. 三角函数
正弦函数: f ( x ) = sin ( x ) f(x) = \sin(x) f(x)=sin(x),导数为 f ′ ( x ) = cos ( x ) f'(x) = \cos(x) f′(x)=cos(x)
余弦函数: f ( x ) = cos ( x ) f(x) = \cos(x) f(x)=cos(x),导数为 f ′ ( x ) = − sin ( x ) f'(x) = -\sin(x) f′(x)=−sin(x)
正切函数: f ( x ) = tan ( x ) f(x) = \tan(x) f(x)=tan(x),导数为 f ′ ( x ) = sec 2 ( x ) f'(x) = \sec^2(x) f′(x)=sec2(x)
5. 反三角函数
反正弦函数: f ( x ) = arcsin ( x ) f(x) = \arcsin(x) f(x)=arcsin(x),导数为 f ′ ( x ) = 1 1 − x 2 f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} f′(x)=1−x21
反余弦函数: f ( x ) = arccos ( x ) f(x) = \arccos(x) f(x)=arccos(x),导数为 f ′ ( x ) = − 1 1 − x 2 f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} f′(x)=1−x2−1
反正切函数: f ( x ) = arctan ( x ) f(x) = \arctan(x) f(x)=arctan(x),导数为 f ′ ( x ) = 1 1 + x 2 f'(x) = \frac{1}{1+x^2} f′(x)=1+x21
6. 复合函数(链式法则)
对于复合函数 f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x)),其导数为:
( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)
C++ 实现解析求导
在 C++ 中,实现解析法需要为每一个函数类型及其组合编写相应的求导函数。
简单的解析求导示例: 下面是一个简单的符号计算示例,计算 f ( x ) = x 3 + 2 x f(x) = x^3 + 2x f(x)=x3+2x 的导数:
-
表达式基类
Expression
str()
: 返回表达式的字符串表示形式。
derivative()
: 计算并返回表达式的导数。 -
常数类
Constant
str()
: 返回常数的字符串表示形式。
derivative()
: 返回常数的导数,常数的导数始终为 0。
getValue()
: 提供获取常数值的功能。 -
变量类
Variable
str()
: 返回变量x
的字符串表示形式。
derivative()
: 返回变量x
的导数,变量的导数始终为 1。 -
加法类
Add
str()
: 返回加法表达式的字符串表示形式,其中左右操作数用括号括起来以确保运算顺序。
derivative()
: 计算加法表达式的导数,即左右操作数导数的和。 -
乘法类
Multiply
str()
: 返回乘法表达式的字符串表示形式。如果左右操作数是Add
或Multiply
类型,则加上括号以确保正确的运算顺序。
derivative()
: 计算乘法表达式的导数,基于乘积法则(u * v)' = u' * v + u * v'
。 -
主函数
main
构造函数f(x) = x^3 + 2x
:
x^3
使用三个Variable
类实例相乘得到。
2x
使用一个Constant
类和一个Variable
类实例相乘得到。
计算f(x)
的导数f'(x)
。
输出函数f(x)
和其导数f'(x)
的字符串表示。
#include <iostream>
#include <string>
#include <memory>// 表示一个符号表达式的基类
class Expression {
public:virtual std::string str() const = 0; // 表示表达式的字符串形式virtual std::unique_ptr<Expression> derivative() const = 0; // 计算表达式的导数virtual std::unique_ptr<Expression> clone() const = 0; // 克隆当前表达式virtual ~Expression() {}
};// 表示常数的类
class Constant : public Expression {double value;
public:Constant(double val) : value(val) {}std::string str() const override {return std::to_string(value);}std::unique_ptr<Expression> derivative() const override {return std::make_unique<Constant>(0); // 常数的导数为 0}std::unique_ptr<Expression> clone() const override {return std::make_unique<Constant>(value); // 克隆常数}double getValue() const { return value; } // 获取常数值
};// 表示变量 x 的类
class Variable : public Expression {
public:std::string str() const override {return "x";}std::unique_ptr<Expression> derivative() const override {return std::make_unique<Constant>(1); // x 的导数为 1}std::unique_ptr<Expression> clone() const override {return std::make_unique<Variable>(); // 克隆变量}
};// 表示加法运算的类
class Add : public Expression {std::unique_ptr<Expression> left, right;
public:Add(std::unique_ptr<Expression> l, std::unique_ptr<Expression> r): left(std::move(l)), right(std::move(r)) {}std::string str() const override {std::string leftStr = left->str();std::string rightStr = right->str();return "(" + leftStr + " + " + rightStr + ")";}std::unique_ptr<Expression> derivative() const override {// 加法导数是各自导数的和return std::make_unique<Add>(left->derivative(), right->derivative());}std::unique_ptr<Expression> clone() const override {return std::make_unique<Add>(left->clone(), right->clone()); // 克隆加法表达式}
};// 表示乘法运算的类
class Multiply : public Expression {std::unique_ptr<Expression> left, right;
public:Multiply(std::unique_ptr<Expression> l, std::unique_ptr<Expression> r): left(std::move(l)), right(std::move(r)) {}std::string str() const override {// 处理乘法表达式中的优先级和括号std::string leftStr = left->str();std::string rightStr = right->str();// 在乘法的左右操作数前加括号(如果必要)if (dynamic_cast<Add*>(left.get()) || dynamic_cast<Multiply*>(left.get())) {leftStr = "(" + leftStr + ")";}if (dynamic_cast<Add*>(right.get()) || dynamic_cast<Multiply*>(right.get())) {rightStr = "(" + rightStr + ")";}return leftStr + " * " + rightStr;}std::unique_ptr<Expression> derivative() const override {// 乘法导数根据乘积法则计算// (u * v)' = u' * v + u * v'return std::make_unique<Add>(std::make_unique<Multiply>(left->derivative()->clone(), right->clone()),std::make_unique<Multiply>(left->clone(), right->derivative()->clone()));}std::unique_ptr<Expression> clone() const override {return std::make_unique<Multiply>(left->clone(), right->clone()); // 克隆乘法表达式}
};int main() {// 构造函数 f(x) = x^3 + 2xauto x = std::make_unique<Variable>();auto x_cubed = std::make_unique<Multiply>(std::make_unique<Variable>(),std::make_unique<Multiply>(std::make_unique<Variable>(), std::make_unique<Variable>())); // x^3auto two_x = std::make_unique<Multiply>(std::make_unique<Constant>(2), std::make_unique<Variable>()); // 2xauto f = std::make_unique<Add>(std::move(x_cubed), std::move(two_x));// 计算 f'(x)auto df = f->derivative();// 输出函数和导数的表达式std::cout << "f(x) = " << f->str() << std::endl;std::cout << "f'(x) = " << df->str() << std::endl;return 0;
}