【算法】浅析动态规划

动态规划介绍与使用

1. 算法定义

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

2. 诞生背景

动态规划诞生于20世纪50年代，由美国数学家理查德·贝尔曼提出。当时，为了解决多阶段决策问题，贝尔曼提出了动态规划这一概念。

3. 发展历程

自贝尔曼提出动态规划以来，这一方法在多个领域得到了广泛的应用和发展。以下是动态规划的主要发展历程：

1950年代：贝尔曼提出动态规划基本理论。
1960年代：动态规划在运筹学、控制理论等领域得到应用。
1970年代：动态规划开始应用于计算机科学领域，如算法设计。
1980年代至今：动态规划在人工智能、生物信息学等领域取得显著成果。

4. 特点

动态规划具有以下特点：

最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。
子问题重叠：动态规划将原问题分解为多个子问题，这些子问题不是独立的，而是重叠的。
无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受之后阶段的影响。

5. 基本原理

动态规划的基本原理是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，从最简单的子问题开始求解，并将子问题的解存储起来，避免重复计算。最后，通过子问题的解得到原问题的解。

6. 应用领域

动态规划在以下领域有广泛应用：

计算机科学：算法设计、字符串匹配、图像处理等。
经济学：资源分配、投资策略、价格决策等。
生物信息学：基因序列比对、蛋白质结构预测等。

7. 实例理解

以斐波那契数列为例，其递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。

F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = F(1) + F(0) = 1
F(3) = F(2) + F(1) = 2
F(4) = F(3) + F(2) = 3
...

通过动态规划，我们可以将F(n)分解为F(n-1)和F(n-2)两个子问题，从而避免重复计算。

8. 代码示例

以下是一个使用Python实现的斐波那契数列的动态规划代码示例：

def fibonacci(n):if n <= 1:return ndp = [0] * (n+1)dp[1] = 1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]
print(fibonacci(10))

9. 代码分步讲解

定义一个名为fibonacci的函数，参数为n，表示求斐波那契数列的第n项。
判断n的值，如果小于等于1，直接返回n。
创建一个长度为n+1的列表dp，用于存储子问题的解。
初始化dp[1] = 1，因为斐波那契数列的第二项为1。
使用一个for循环，从2遍历到n，计算每个子问题的解，并存储在dp列表中。
返回dp[n]，即斐波那契数列的第n项。

通过以上步骤，我们成功使用动态规划求解了斐波那契数列问题。

10. 实例理解（进阶）

下面我们将使用动态规划来解决一个相对复杂的问题：最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题。这个问题是寻找两个或多个序列中最长的子序列，该子序列在原序列中是按相同顺序出现的，但不要求连续。

示例：

input：str1 = 123456 str2 = 234567output：LCS = 23456

1. 问题定义

给定两个字符串 str1 和 str2，找出它们的最长公共子序列的长度。

2. 动态规划思路

创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 str1 的前 i 个字符和 str2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
初始化 dp 的第一行和第一列为0，因为任何一个字符串与空字符串的最长公共子序列长度都是0。
遍历 str1 和 str2 的字符，如果当前字符相等，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
最终 dp[str1.length()][str2.length()] 就是两个字符串的最长公共子序列的长度。

3. 代码分段

初始化部分

def longest_common_subsequence(str1, str2):m, n = len(str1), len(str2)# 创建一个 (m+1)x(n+1) 的二维数组，初始化为0dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

动态规划填表

    # 填充 dp 表for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if str1[i - 1] == str2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

返回结果

    # 返回最长公共子序列的长度return dp[m][n]

4. 整体代码

def longest_common_subsequence(str1, str2):# 获取两个字符串的长度m, n = len(str1), len(str2)# 初始化动态规划表，大小为 (m+1)x(n+1)，初始值为0dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 填充动态规划表for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):# 如果当前字符相等，更新 dp 表的值if str1[i - 1] == str2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:# 如果当前字符不相等，取上方和左方中的最大值dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])# 返回最长公共子序列的长度return dp[m][n]
# 测试代码
str1 = "ABCBDAB"
str2 = "BDCAB"
print(longest_common_subsequence(str1, str2))  # 输出应为4，最长公共子序列是 "BCAB"