点集

基础

• 设 f ( x ) 定义在 R n 上，则 f ∈ C ( R n ) 的充要条件是对任意的 t ∈ R ， 点集 E 1 = { x ∈ R n : f ( x ) ≥ t } , E 2 = { x ∈ R n : f ( x ) ≤ t } 都是闭集 设f(x)定义在R^n上，则f \in C(R ^n)的充要条件是对任意的t \in R， \\点集E_1=\{x \in R^n:f(x) \ge t \},E_2=\{x \in R^n:f(x) \le t\}都是闭集 设f(x)定义在Rn上，则f∈C(Rn)的充要条件是对任意的t∈R，点集E1​={x∈Rn:f(x)≥t},E2​={x∈Rn:f(x)≤t}都是闭集
  证明： 1. 充分性 ( 1 ) f ∈ C ( R n ) ，则有 x 1 ∈ E 1 , ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 x ∈ E 1 ∩ B ( x 1 , δ ) 时，有 ∣ f ( x ) − f ( x 1 ) ∣ < ϵ ( 2 ) ∀ t ∈ R ，对于集合 { t i : t i ∈ R } 中的每个元素 t i ，都有 f i ( x ) ≥ t i ，且 f i ∈ C ( R n ) 对于所有 x 0 ∈ E 1 ，使 f i ( x ) ≥ t i , 函数 f i ( x ) 在点 x 0 处连续， 函数 f i 在其定义域 E 1 内的每一个点都连续。 所以存在 δ > 0 , x 0 ∈ E 1 , 使得 E 1 ∩ ( B ( x 0 , δ ) \ { x 0 } ) ≠ ∅ , x 0 ∈ E 1 ′ , E 1 ⊃ E 1 ′ 也可反证：如果 E 1 ∩ ( B ( x 0 , δ ) \ { x 0 } ) = ∅ , x 0 ∈ E 1 ′ , E 1 ⊉ E 1 ′ ， 函数 f i 在 x 0 处不连续，矛盾。 ( 3 ) E 2 同理可证。 2. 必要性 E 1 , E 2 都是闭集， E 1 ⊃ E 1 ′ , E 2 ⊃ E 2 ′ （ 1 ）任意的 t i ∈ R ， ∃ δ > 0 , x 0 ∈ E 1 ′ ， x ∈ E 1 ∩ ( B ( x 0 , δ ) \ { x 0 } ) 时， 使 f i ( x ) ≥ t i , 有 ∣ f i ( x ) − f i ( x 0 ) ∣ < ϵ , 函数 f i ( x ) 在点 x 0 处连续 ( 2 ) E 2 同理可证。 另一种证法 1. 必要性 互异点列 { x k } ⊂ E 1 , k → ∞ 时 , x k → x 0 , x 0 ∈ E 1 ′ f ( x ) ≥ t , ∀ t ∈ R , f ( x ) 的连续性 f ( x 0 ) = lim ⁡ k → ∞ f ( x k ) ≥ t x 0 ∈ E 1 2. 充分性 x 0 ∈ E 1 , f ∈ C ( R n ) x ∈ E 1 ∩ B ( x 0 , δ ) ， ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ 互异点列 { x k } ⊂ E 1 , f ( x k ) ≥ t 有 lim ⁡ k → ∞ ∣ x k − x 0 ∣ = 0 , x 0 ∈ E 1 ′ 也可反证： x 0 不是 f ( x ) 的连续点， x 0 ∈ R n ϵ 0 > 0 , 互异点列 { x k } , k → ∞ 时 , x k → x 0 对每一个 k ，有 f ( x k ) ≤ f ( x 0 ) − ϵ 0 或者 f ( x k ) ≥ f ( x 0 ) − ϵ 0 我们取 f ( x k ) ≤ f ( x 0 ) − ϵ 0 , t = f ( x 0 ) − ϵ 0 , 则 x k ∈ E 2 ， x 0 ∉ E 2 ， 与 E 2 是闭集矛盾。 证明：1.充分性 \\(1)f \in C(R ^n)，则有x_1 \in E_1,\forall \epsilon \gt 0,\exist \delta \gt 0 \\x \in E_1 \cap B(x_1,\delta)时，有|f(x)-f(x_1)| \lt \epsilon \\(2)\forall t \in R，对于集合\{t_i:t_i \in R\}中的每个元素t_i，都有f_i(x)\ge t_i，且f_i \in C(R ^n) \\对于所有x_0 \in E_1，使f_i(x)\ge t_i,函数f_i(x)在点x_0处连续， \\函数f_i在其定义域E_1内的每一个点都连续。 \\所以存在\delta \gt 0,x_0 \in E_1,使得E_1\cap (B(x_0,\delta)\backslash \{x_0\}) \ne \emptyset,x_0 \in E_1',E_1 \supset E_1' \\也可反证：如果E_1\cap (B(x_0,\delta)\backslash \{x_0\}) = \emptyset,x_0 \in E_1',E_1 \nsupseteq E_1'， \\函数f_i在x_0处不连续，矛盾。 \\(3)E_2同理可证。 \\2.必要性 \\E_1,E_2都是闭集，E_1 \supset E_1',E_2 \supset E_2' \\（1）任意的t_i\in R，\exist \delta \gt 0, \\x_0\in E_1'，x \in E_1\cap (B(x_0,\delta)\backslash \{x_0\})时， \\使f_i(x)\ge t_i,有|f_i(x)-f_i(x_0)| \lt \epsilon,函数f_i(x)在点x_0处连续 \\(2)E_2同理可证。 \\另一种证法 \\1.必要性 \\互异点列\{x_k\}\subset E_1,k\rightarrow \infty时,x_k\rightarrow x_0,x_0 \in E_1' \\f(x) \ge t,\forall t \in R,f(x)的连续性 \\f(x_0)=\lim_{k\rightarrow \infty}f(x_k)\ge t \\x_0 \in E_1 \\2.充分性 \\x_0 \in E_1,f \in C(R ^n) \\x \in E_1 \cap B(x_0,\delta)，|f(x)-f(x_0)| \lt \epsilon \\互异点列\{x_k\}\subset E_1,f(x_k)\ge t \\有\lim_{k\rightarrow\infty}\mid x_k-x_0\mid=0,x_0 \in E_1' \\也可反证：x_0不是f(x)的连续点，x_0 \in R^n \\\epsilon_0 \gt 0, 互异点列\{x_k\},k\rightarrow \infty时,x_k\rightarrow x_0 \\对每一个k，有 \\f(x_k) \le f(x_0)-\epsilon_0或者f(x_k) \ge f(x_0)-\epsilon_0 \\我们取f(x_k) \le f(x_0)-\epsilon_0,t=f(x_0)-\epsilon_0,则 x_k \in E_2，x_0 \notin E_2， \\与E_2是闭集矛盾。 证明：1.充分性(1)f∈C(Rn)，则有x1​∈E1​,∀ϵ>0,∃δ>0x∈E1​∩B(x1​,δ)时，有∣f(x)−f(x1​)∣<ϵ(2)∀t∈R，对于集合{ti​:ti​∈R}中的每个元素ti​，都有fi​(x)≥ti​，且fi​∈C(Rn)对于所有x0​∈E1​，使fi​(x)≥ti​,函数fi​(x)在点x0​处连续，函数fi​在其定义域E1​内的每一个点都连续。所以存在δ>0,x0​∈E1​,使得E1​∩(B(x0​,δ)\{x0​})=∅,x0​∈E1′​,E1​⊃E1′​也可反证：如果E1​∩(B(x0​,δ)\{x0​})=∅,x0​∈E1′​,E1​⊉E1′​，函数fi​在x0​处不连续，矛盾。(3)E2​同理可证。2.必要性E1​,E2​都是闭集，E1​⊃E1′​,E2​⊃E2′​（1）任意的ti​∈R，∃δ>0,x0​∈E1′​，x∈E1​∩(B(x0​,δ)\{x0​})时，使fi​(x)≥ti​,有∣fi​(x)−fi​(x0​)∣<ϵ,函数fi​(x)在点x0​处连续(2)E2​同理可证。另一种证法1.必要性互异点列{xk​}⊂E1​,k→∞时,xk​→x0​,x0​∈E1′​f(x)≥t,∀t∈R,f(x)的连续性f(x0​)=k→∞lim​f(xk​)≥tx0​∈E1​2.充分性x0​∈E1​,f∈C(Rn)x∈E1​∩B(x0​,δ)，∣f(x)−f(x0​)∣<ϵ互异点列{xk​}⊂E1​,f(xk​)≥t有k→∞lim​∣xk​−x0​∣=0,x0​∈E1′​也可反证：x0​不是f(x)的连续点，x0​∈Rnϵ0​>0,互异点列{xk​},k→∞时,xk​→x0​对每一个k，有f(xk​)≤f(x0​)−ϵ0​或者f(xk​)≥f(x0​)−ϵ0​我们取f(xk​)≤f(x0​)−ϵ0​,t=f(x0​)−ϵ0​,则xk​∈E2​，x0​∈/E2​，与E2​是闭集矛盾。

理论

逐点连续

定义

逐点连续是数学中函数连续性概念的一种表述方式，它侧重于函数在定义域内每一个点的连续性。以下是对逐点连续的详细解释：

逐点连续是指对于给定的函数$y=f(x)$，在其定义域内的每一个点$x_0$，如果对于任意的正数$ϵ$（无论多么小），都存在一个正数$\delta$（依赖于$ϵ$和$x_0$），使得当$x$满足$|x-x_0|<\delta$时，都有$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。如果函数在其定义域内的每一个点都连续，则称该函数在其定义域上逐点连续。

历史背景

大约在十八世纪60年代，德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass, 1815-1897）给出了函数连续性的逐点定义，即上述的数学表述。这一定义成为了现代数学中函数连续性的基础。

性质

1. 局部性：逐点连续的定义关注的是函数在单个点的行为，即函数在该点附近的变化是否足够“平滑”或“连续”。
2. 普适性：由于函数在其定义域内的每一个点都可能需要满足连续性的条件，因此逐点连续是对函数在整个定义域上连续性的一种全面要求。
3. 与一致连续的区别：逐点连续和一致连续是函数连续性的两种不同表述方式。逐点连续关注的是函数在单个点的连续性，而一致连续则关注函数在某个区间上的整体连续性。具体来说，一致连续要求对于区间内的任意两点$x_1$和$x_2$，只要它们足够接近（即$|x_1-x_2|$小于某个正数$\delta$），那么函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$也必须足够接近（即$|f(x_1)-f(x_2)|$小于某个正数$ϵ$），且这个$\delta$的选取不依赖于区间内的具体点。

应用

逐点连续在数学分析、微积分、实变函数等多个数学分支中都有广泛的应用。它是研究函数性质、求解极限、证明定理等问题的基本工具之一。

综上所述，逐点连续是数学中函数连续性概念的一种重要表述方式，它要求函数在其定义域内的每一个点都满足连续性的条件。

充分条件和必要条件

在数学和逻辑学中，充分条件和必要条件是两个重要的概念，它们用于描述命题之间的逻辑关系。

充分条件

定义：如果条件A是结果B的充分条件，那么当A成立时，B也必然成立。这可以表示为：如果A，则B（A→B）。但B的发生不一定要求A必须发生，也就是说，A不是B发生的唯一原因。

例子：如果下雨（A），那么地面会湿（B）。这里，“下雨”是“地面湿”的充分条件，因为下雨确实会导致地面湿。但地面湿可能有其他原因，如水管破裂等。

必要条件

定义：如果条件A是结果B的必要条件，那么B要想发生，A必须发生。但A的发生并不保证B一定发生，因为可能还需要其他条件。这可以表示为：只有A，才可能B（A←B，但更常见的表示是强调“必要”而非“只有”，即没有A就没有B）。

例子：为了煮开水（B），必须有热源（A）。这里，“有热源”是“煮开水”的必要条件，因为没有热源水就无法被加热至沸腾。但仅有热源也不足以保证水一定会被煮开，因为还需要水本身、容器等其他条件。

充要条件

有时，一个条件既是结果的充分条件也是必要条件，这种情况下称为充要条件。充要条件可以表示为：A当且仅当B（A↔B）。

例子：在三角形中，等边三角形（A）当且仅当三边等长（B）。这里，“等边三角形”与“三边等长”互为充要条件。

总结

• 充分条件：如果A，则B（A→B），A是B的充分条件。
• 必要条件：只有A，才可能B（或说，没有A就没有B），A是B的必要条件。
• 充要条件：A当且仅当B（A↔B），A既是B的充分条件也是必要条件。

参考文献

1、《实变函数论》
2、文心一言