引言

  在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。

1 二元一次方程组

什么是二元一次方程组？

二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：

$$\{\begin{array}{l}3x+4y=5\\ 7x+9y=11\end{array}$$

这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。

解法概述

解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。

示例

1. 操作步骤

首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。

原方程组：

$$\{\begin{array}{l}3x+4y=5\\ 7x+9y=11\end{array}$$

2. 消元法

为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：

将第一个方程乘以 7：
将第二个方程乘以 3：

$$\{\begin{array}{l}7\cdot 3x+7\cdot 4y=7\cdot 5\\ 3\cdot 7x+3\cdot 9y=3\cdot 11\end{array}$$

两式相减，求得 y 的值
$$y=\frac{7\cdot 5-3\cdot 11}{7\cdot 4-3\cdot 9}$$
现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样

$$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 11& 5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 9& 4\end{array}\right|}$$

最后求得 x 和 y 的值：

$$\begin{gathered} y=2 \\ x=-1 \end{gathered}$$

2 二阶行列式

引入行列式

在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。

行列式定义

行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

示例计算

对于矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right)$$

其行列式为：

$$\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right|=3\cdot 9-4\cdot 7=27-28=-1$$

3 克拉默法则

什么是克拉默法则？

克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：

$$\{\begin{array}{l}3x+4y=5\\ 7x+9y=11\end{array}$$

它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right)$$

克拉默法则公式

克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的：
(x)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第一列， (y)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第二列，

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 11& 9\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 7& 11\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right|}$$

使用克拉默法则求解

1. 计算分母：

$$\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& 9\end{array}\right|=3\cdot 9-4\cdot 7=-1$$

2. 计算 (x) 的分子：

$$\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 11& 9\end{array}\right|=5\cdot 9-4\cdot 11=45-44=1$$

3. 计算 (y) 的分子：

$$\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 7& 11\end{array}\right|=3\cdot 11-5\cdot 7=33-35=-2$$

4. 求解：

$$x=\frac{1}{-1}=-1$$

$$y=\frac{-2}{-1}=2$$

使用克拉默法则求解多元一次方程组

也是类似的，用三元一次方程组举例，四元、五元、十元等等类似：
$$\{\begin{array}{l}2x+3y-z=5\\ 4x-y+2z=6\\ 3x+2y+z=7\end{array}$$

将其表示为矩阵形式 (AX = B)，其中：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 4& -1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ 7\end{array}\right)$$

求解 (x)

用 B 替换 A 的第一列：
$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}5& 3& -1\\ 6& -1& 2\\ 7& 2& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 4& -1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|}=\frac{4}{3}$$

高阶行列式的计算可以使用余子式，按行或列展开计算，本文不再赘述。

求解 (y)

用 B 替换 A 的第二列：
$$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}2& 5& -1\\ 4& 6& 2\\ 3& 7& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 4& -1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|}=\frac{16}{15}$$

求解 (z)

用 B 替换 A 的第三列：
$$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 4& -1& 6\\ 3& 2& 7\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 4& -1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|}=\frac{13}{15}$$

使用克拉默法则的限制条件

1.方程数与未知数相等

例如，三个未知数，三个方程。

2.系数矩阵必须是方阵且行列式结果不为零

系数矩阵必须是n×n 的矩阵（简称方阵）。如果不是方阵，克拉默法则不能应用。同样行列式计算的结果为零时也不适用。

3.方程组必须是线性的

比如二元一次方程、三元一次方程才适用，不能是二元二次方程，因为已经是平方了，不是线性了。

4 总结

  本文我们从二元一次方程组的基本求解方法开始，逐步引入了行列式，并最终介绍了克拉默法则。在实际应用中，使用行列式和克拉默法则可以简化计算过程，使得解决线性方程组更加直观和有效。