【单扩域同构引理】
对于单扩张 K / F \mathbb{K/F} K/F有同构 F [ a ] ≅ F [ x ] / ⟨ f ( x ) ⟩ \mathbb{F}\lbrack a\rbrack\mathbb{\cong F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle F[a]≅F[x]/⟨f(x)⟩，其中 a ∈ K a \in \mathbb{K} a∈K为本原元素， F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]为域 F \mathbb{F} F上的一元多项式环， F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]显然是个欧几里得整环， ⟨ f ( x ) ⟩ \left\langle f(x) \right\rangle ⟨f(x)⟩为 F [ x ] \mathbb{F}\lbrack x\rbrack F[x]上的极小多项式 f ( x ) f(x) f(x)生成的理想， F [ x ] / ⟨ f ( x ) ⟩ \mathbb{F}\lbrack x\rbrack/\left\langle f(x) \right\rangle F[x]/⟨f(x)⟩为商域。
【备注】
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对于 ∀ F ( x ) ∈ F [ x ] \forall F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack ∀F(x)∈F[x]，必有 Q ( x ) 、 R ( x ) ∈ F [ x ] Q(x)、R(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Q(x)、R(x)∈F[x]满足 F [ x ] = Q [ x ] × f ( x ) + R ( x ) F\lbrack x\rbrack = Q\lbrack x\rbrack \times f(x) + R(x) F[x]=Q[x]×f(x)+R(x)，其中 deg ( f ) > deg ( R ) \deg{(f)} > \deg(R) deg(f)>deg(R)。根据引理，对于任意的 F 1 ( x ) 、 F 2 ( x ) F_{1}(x)、F_{2}(x) F1(x)、F2(x)对应的新增扩域元素 F 1 ( a ) 、 F 2 ( a ) ∈ K F_{1}(a)、F_{2}(a)\mathbb{\in K} F1(a)、F2(a)∈K，只要 R 1 ( a ) = R 2 ( a ) R_{1}(a) = R_{2}(a) R1(a)=R2(a)，那么必有 F 1 ( a ) = F 2 ( a ) F_{1}(a) = F_{2}(a) F1(a)=F2(a)。
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另外对于任意的 F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0，都有一个 F f − 1 ( x ) ∈ F [ x ] F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Ff−1(x)∈F[x]，满足 F ( a ) × F f − 1 ( a ) = 1 F(a) \times F_{f}^{- 1}(a) = 1 F(a)×Ff−1(a)=1。根据线性空间的基的个数（ = = =扩张次数 = = =极小多项式的次数 = n = n =n），因为对于 n + 1 n + 1 n+1个元素
1 、 F ( a ) 、 ( F ( a ) ) 2 、 ( F ( a ) ) 3 … … ( F ( a ) ) n 1、F(a)、\left( F(a) \right)^{2}、\left( F(a) \right)^{3}\ldots\ldots\left( F(a) \right)^{n} 1、F(a)、(F(a))2、(F(a))3……(F(a))n
必然线性相关，即有 l 0 、 l 1 、 l 2 … … l n ∈ F l_{0}、l_{1}、l_{2}\ldots\ldots l_{n}\mathbb{\in F} l0、l1、l2……ln∈F满足
l 0 ( F ( a ) ) 0 + l 1 ( F ( a ) ) 1 + l 2 ( F ( a ) ) 2 + l 3 ( F ( a ) ) 3 + … … + ( F ( a ) ) n = 0 l_{0}\left( F(a) \right)^{0} + l_{1}\left( F(a) \right)^{1} + l_{2}\left( F(a) \right)^{2} + l_{3}\left( F(a) \right)^{3} + \ldots\ldots + \left( F(a) \right)^{n} = 0 l0(F(a))0+l1(F(a))1+l2(F(a))2+l3(F(a))3+……+(F(a))n=0
取第一个不为零的 l k l_{k} lk，那么有
( F ( a ) ) k ∑ i = k n l i ( F ( a ) ) i − k = 0 \left( F(a) \right)^{k}\sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0 (F(a))ki=k∑nli(F(a))i−k=0
由于
F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0
所以
∑ i = k n l i ( F ( a ) ) i − k = 0 \sum_{i = k}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = 0 i=k∑nli(F(a))i−k=0
整理得
∑ i = k + 1 n l i ( F ( a ) ) i − k = − l k \sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k}} = - l_{k} i=k+1∑nli(F(a))i−k=−lk
即
F ( a ) ( ( − l k ) − 1 ∑ i = k + 1 n l i ( F ( a ) ) i − k − 1 ) = 1 F(a)\left( \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(a) \right)^{i - k - 1}} \right) = 1 F(a)((−lk)−1i=k+1∑nli(F(a))i−k−1)=1
也就是
F f − 1 ( x ) = ( − l k ) − 1 ∑ i = k + 1 n l i ( F ( x ) ) i − k − 1 F_{f}^{- 1}(x) = \left( - l_{k} \right)^{- 1}\sum_{i = k + 1}^{n}{l_{i}\left( F(x) \right)^{i - k - 1}} Ff−1(x)=(−lk)−1i=k+1∑nli(F(x))i−k−1
换句话说 F ( a ) ≠ 0 F(a) \neq 0 F(a)=0有一个逆元一个 F f − 1 ( a ) F_{f}^{- 1}(a) Ff−1(a)，其中 F f − 1 ( x ) ∈ F [ x ] F_{f}^{- 1}(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack Ff−1(x)∈F[x]为一个一元多项式。
【两次扩域的次数关系定理】
考虑扩域 [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F]和 [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K]，则有 [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]。
【证明】
- [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F]和 [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K]为连续的两个单扩张时， [ L : F ] = [ L : K ] × [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [L:F]=[L:K]×[K:F]成立
首先，设 [ K : F ] \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack [K:F]的单扩张的本原元素为 k ∈ K k\mathbb{\in K} k∈K，扩张次数为 n n n， [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:K]的单扩张的本原元素为 l ∈ L l \in \mathbb{L} l∈L，扩张次数为 m m m。
对于 K / F \mathbb{K/F} K/F，根据【单扩张同构引理】，任意 K ( l ) ∈ K K(l)\mathbb{\in K} K(l)∈K，都可化为一个次数为 m − 1 m - 1 m−1的 K ^ [ x ] ∈ K [ x ] \widehat{K}\lbrack x\rbrack \in \mathbb{K}\lbrack x\rbrack K [x]∈K[x]的对应值，即
K ( l ) = K ^ ( l ) = ∑ i = 0 m − 1 k i l i k i ∈ K K ^ ( x ) 、 K ( x ) ∈ K [ x ] deg ( K ^ ( x ) ) = m − 1 K(l) = \widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}}\ \ \ \ \ \ \ k_{i}\mathbb{\in K\ \ \ \ \ \ }\widehat{K}(x)、K(x)\mathbb{\in K}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{K}(x) \right) = m - 1 K(l)=K (l)=i=0∑m−1kili ki∈K K (x)、K(x)∈K[x] deg(K (x))=m−1
对于 L / K \mathbb{L/K} L/K，同理，对于任意的 k i k_{i} ki，都有
k i = F ^ ( k ) = ∑ j = 0 n − 1 f i , j k j = F ( k ) f i , j ∈ F F ^ ( x ) 、 F ( x ) ∈ F [ x ] deg ( F ^ ( x ) ) = n − 1 k_{i} = \widehat{F}(k) = \sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}k^{j}} = F(k)\ \ \ \ \ \ \ f_{i,j}\mathbb{\in F\ \ \ \ \ \ \ }\widehat{F}(x)、F(x)\mathbb{\in F}\lbrack x\rbrack\ \ \ \ \ \ \deg\left( \widehat{F}(x) \right) = n - 1 ki=F (k)=j=0∑n−1fi,jkj=F(k) fi,j∈F F (x)、F(x)∈F[x] deg(F (x))=n−1
区别不同 K ( l ) K(l) K(l)是根据 k i k_{i} ki的不同值，只要有一个 k i k_{i} ki不同，那么 K ( l ) K(l) K(l)必定不同，否则相同；同理，区别不同 k i k_{i} ki，即区分不同 F ( k ) F(k) F(k)是根据 f i , j f_{i,j} fi,j的不同值，只要有一个 f i , j f_{i,j} fi,j不同，那么 F ( k ) F(k) F(k)必定不同，否则相同。
对于 L / F \mathbb{L/F} L/F的扩域过程，因为
K ( l ) = K ^ ( l ) = ∑ i = 0 m − 1 k i l i = ∑ i = 0 m − 1 ∑ j = 0 n − 1 f i , j l i k j K(l) = \widehat{K}(l) = \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}} = \sum_{i = 0}^{m - 1}{\sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}l^{i}k^{j}}} K(l)=K (l)=i=0∑m−1kili=i=0∑m−1j=0∑n−1fi,jlikj
若 K ( l ) = 0 K(l) = 0 K(l)=0，则
∑ i = 0 m − 1 ∑ j = 0 n − 1 f i , j l i k j = 0 ⇒ ∑ i = 0 m − 1 k i l i = 0 ⇒ k i = 0 ⇒ f i , j = 0 \sum_{i = 0}^{m - 1}{\sum_{j = 0}^{n - 1}{f_{i,j}l^{i}k^{j}}} = 0 \Rightarrow \sum_{i = 0}^{m - 1}{k_{i}l^{i}} = 0 \Rightarrow k_{i} = 0 \Rightarrow f_{i,j} = 0 i=0∑m−1j=0∑n−1fi,jlikj=0⇒i=0∑m−1kili=0⇒ki=0⇒fi,j=0
所以 { l i k j } \{ l^{i}k^{j}\} {likj}线性无关， { l i k j } \{ l^{i}k^{j}\} {likj}可作为 L / F \mathbb{L/F} L/F的扩域过程的基。从而连续的两个单扩张的总扩张次数等于两个单扩张的各自扩张次数的乘积（ = n × m = n \times m =n×m）。
- [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]
一般地，一个域扩张可由多个单扩张构成，也就是 L / F \mathbb{L/F} L/F的扩域过程可分为若干单扩张，这些单扩张分成两个阶段，第一个阶段是 K / F \mathbb{K/F} K/F，第二个阶段是 L / K \mathbb{L/K} L/K，显然有 [ L : F ] = [ K : F ] × [ L : K ] \left\lbrack \mathbb{L:F} \right\rbrack = \left\lbrack \mathbb{K:F} \right\rbrack \times \left\lbrack \mathbb{L:K} \right\rbrack [L:F]=[K:F]×[L:K]
