205.斐波那契

205. 斐波那契 - AcWing题库
难度：中等
时/空限制：1s / 64MB
总通过数：3220
总尝试数：4747
来源： 《算法竞赛进阶指南》
算法标签 数学知识矩阵乘法快速幂

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题目内容

在斐波那契数列中，
$$Fi{b}_0=0,Fi{b}_1=1,Fi{b}_n=Fi{b}_{n-1}+Fi{b}_{n-2}$$
(n>1)。
给定整数 n，求 $Fi{b}_n$ mod 10000。

输入格式

输入包含不超过 100 组测试用例。
每个测试用例占一行，包含一个整数 n。
当输入用例 n=−1 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

每个测试用例输出一个整数表示结果。
每个结果占一行。

数据范围

0≤n≤2×10^9

输入样例：

0
9
999999999
1000000000
-1

输出样例：

0
34
626
6875

题目解析

怕溢出，求第n项模10000的结果，这样就不需要写高i精度

不超过100组数据
对于每一个n，求斐波那契数列第n项模10000的结果

数据范围是0~20亿
不能用递推的方法来做，计算量是2000亿

如何优化

斐波那契数列有通项公式

$$a_n=1÷\sqrt{5}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$$
但是这个式子不适合这道题，需要做高精度，而且还要把n项精确求出来，没办法求余数

用矩阵乘法快速幂的方式，容易取余数

如果可以把一道题目转换成矩阵的乘法来计算的话，就可以用快速幂来优化

先把递推的方法用一个矩阵表示出来
因为每一项都和前两项有关系，可以把$a_{n-1}$和$a_n$放到一个矩阵中，是一个1x2的矩阵
乘以一个2x2的矩阵，就可以得到一个新的1x2的矩阵
新的1x2的矩阵就是每一项往后递推，$a_n$和$a_{n+1}$

如何构造矩阵，从定义来看
根据矩阵乘法规则
$$\left[\begin{array}{c}{a}_{n-1}an\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}01\\ 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_n{a}_{n+1}\end{array}\right]$$
把矩阵第一个元素的下标当作矩阵的下标
$$A_n=A_{n-1}\times F$$
同理
$$A_n=A_{n-2}\times F\times F$$
$$\dots$$
$$A_n=A_0\times F\cdots \times F$$
矩阵乘法有结合律
$$A_n=A_0\times F^n$$
$$=\left[\begin{array}{c}0,1\end{array}\right]\times {\left[\begin{array}{c}01\\ 11\end{array}\right]}^n$$
求矩阵的n次方，可以类似用整数的快速幂来求
快速幂能用的前提是具有结合律

快速幂求法，时间复杂度是$O(\log n)$
矩阵乘法，复杂度再乘8

总共2万4的计算量，能过

如果用C++实现矩阵乘法的话，需要存1x2的数组和2x2的数组，还需要写两个函数，比较麻烦

如何只写一个函数

把1x2的矩阵扩充一下，下面加两个0，结果还是不变的

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int MOD = 10000;void mul(int a[][2], int b[][2])
{//先定义一下结果数组int c[2][2] = {0};for (int i = 0; i < 2; i ++)for (int j = 0; j < 2; j ++)for (int k = 0; k < 2; k ++)c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;memcpy (a, c, sizeof c);//把c数组赋值到a上
}int fib(int n)
{int a[2][2] = {0, 1, 0, 0};int f[2][2] = {0, 1, 1, 1};//快速幂while (n){//如果n是奇数的话if (n & 1) mul(a, f);mul(f, f);n >>= 1;}return a[0][0];
}int main()
{int n;//逗号表达式，值等于最后一个表达式的值，这两个式子的值其实就是n!=-1while (cin >> n, n != -1)cout << fib(n) << endl;return 0;
}