题目描述

格雷码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。

给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷码序列的顺序。格雷码序列必须以 0 开头。

输入格式

• n：编码的位数。

输出格式

• 返回格雷码序列的列表。

示例

示例 1

输入: n = 2
输出: [0, 1, 3, 2]
解释:
00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

---

方法一：递归公式法

解题步骤

1. 递归定义：利用格雷码的递归性质，G(n) = [0G(n-1), 1G(n-1)_reverse]，即先加上 n-1 的格雷码序列，然后加上 n-1 的格雷码序列反转并在最高位加 1。
2. 基本情况：当 n = 0 时，返回 [0]。

完整的规范代码

python">def grayCode(n):"""根据递归公式生成格雷码:param n: int, 编码的位数:return: List[int], 格雷码序列"""if n == 0:return [0]# 递归生成前一位的格雷码previous = grayCode(n - 1)max_number = 1 << (n - 1)return previous + [max_number + i for i in reversed(previous)]# 示例调用
print(grayCode(2))  # 输出: [0, 1, 3, 2]

算法分析

• 时间复杂度：(O(2^n))，生成长度为 (2^n) 的格雷码序列。
• 空间复杂度：(O(2^n))，递归栈的深度和输出结果的长度。

方法二：二进制法

解题步骤

1. 二进制转换：格雷码可以通过 G(i) = i ^ (i >> 1) 来从二进制转换得到，对于每个数 i，从 0 到 2^n - 1，计算对应的格雷码。

完整的规范代码

python">def grayCode(n):"""使用二进制转换法生成格雷码:param n: int, 编码的位数:return: List[int], 格雷码序列"""return [i ^ (i >> 1) for i in range(1 << n)]# 示例调用
print(grayCode(2))  # 输出: [0, 1, 3, 2]

算法分析

• 时间复杂度：(O(2^n))，一次遍历生成格雷码序列。
• 空间复杂度：(O(2^n))，存储格雷码序列。

方法三：迭代法

解题步骤

1. 迭代构建：从 n=0 开始，迭代构建到 n，每次迭代利用上一次的结果。
2. 反向追加：每次迭代在前一次结果的基础上，反向追加加上高位 1 的结果。

完整的规范代码

python">def grayCode(n):"""迭代法生成格雷码:param n: int, 编码的位数:return: List[int], 格雷码序列"""result = [0]for i in range(n):result += [x + (1 << i) for x in reversed(result)]return result# 示例调用
print(grayCode(2))  # 输出: [0, 1, 3, 2]

算法分析

• 时间复杂度：(O(2^n))，每次迭代都会将结果列表长度翻倍。
• 空间复杂度：(O(2^n))，存储格雷码序列。

方法四：镜像反射法

解题步骤

1. 镜像原理：格雷码可以通过镜像反射的方式构建。首先生成长度为 1 的序列 [0, 1]，每次迭代时，对当前列表进行镜像反射，左半部分的数字前加 0，右半部分的数字前加 1。
2. 递增迭代：从 1 位开始，通过递增方式逐步扩展到 n 位格雷码。

完整的规范代码

python">def grayCode(n):"""镜像反射法生成格雷码:param n: int, 编码的位数:return: List[int], 格雷码序列"""result = [0, 1]for i in range(1, n):result += [x + (1 << i) for x in reversed(result)]return result# 示例调用
print(grayCode(2))  # 输出: [0, 1, 3, 2]

算法分析

• 时间复杂度：(O(2^n))，每次迭代列表长度翻倍，需要 (n) 次迭代来完成。
• 空间复杂度：(O(2^n))，需要存储整个格雷码序列。

方法五：位操作优化

解题步骤

1. 位操作：利用位操作的特性直接生成格雷码序列。格雷码的生成可以看作是一种位操作，通过对数值进行异或操作实现。
2. 一次计算：通过从 0 到 2^n - 1 的循环，直接计算每个值的格雷码表示。

完整的规范代码

python">def grayCode(n):"""位操作优化生成格雷码:param n: int, 编码的位数:return: List[int], 格雷码序列"""return [(i >> 1) ^ i for i in range(1 << n)]# 示例调用
print(grayCode(2))  # 输出: [0, 1, 3, 2]

算法分析

• 时间复杂度：(O(2^n))，对于给定的位数 n，生成所有可能的 2^n 个格雷码。
• 空间复杂度：(O(2^n))，用于存储生成的格雷码序列。

不同算法的优劣势对比

特征	方法一：递归公式法	方法二：二进制法	方法三：迭代法	方法四：镜像反射法	方法五：位操作优化
时间复杂度	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))
空间复杂度	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))	(O(2^n))
优势	直观、递归简洁	直接、无需递归	易于理解和实现	直观且易于理解	极快且简洁
劣势	深度递归可能导致栈溢出	理解稍难	需要多次复制和追加	需要初始化较长列表	位操作可能不直观

应用示例

格雷码的应用非常广泛，特别是在数字系统和通信领域，如：

• 数字逻辑设计：在数字逻辑和硬件设计中，格雷码被用来最小化信号在数字电路中的切换错误。
• 位置编码：在旋转编码器和其他传感器中，格雷码用于确保位置信息在读取过程中的准确性，减少错误。
• 数据压缩：在某些形式的数据压缩中，格雷码有助于更有效地编码信息。