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简介

枚举（英语：Enumerate）是基于已有知识来猜测答案的问题求解策略。

枚举的思想是不断地猜测，从可能的集合中一一尝试，然后再判断题目的条件是否成立。

要点

给出解空间

建立简洁的数学模型。

枚举的时候要想清楚：可能的情况是什么？要枚举哪些要素？

减少枚举的空间

枚举的范围是什么？是所有的内容都需要枚举吗？

在用枚举法解决问题的时候，一定要想清楚这两件事，否则会带来不必要的时间开销。

选择合适的枚举顺序

根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数，那自然是从大到小枚举比较合适。

例题

以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。

Q：一个数组中的数互不相同，求其中和为 0 的数对的个数。

A1：枚举两个数

for (int i = 0; i < n; ++i)for (int j = 0; j < n; ++j)if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

对于A1：

来看看枚举的范围如何优化。由于题中没要求数对是有序的，答案就是有序的情况的两倍（考虑如果 (a, b) 是答案，那么 (b, a) 也是答案）。对于这种情况，只需统计人为要求有顺序之后的答案，最后再乘上 2 就好了。

A2：不妨要求第一个数要出现在靠前的位置

for (int i = 0; i < n; ++i)for (int j = 0; j < i; ++j)if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

不难发现这里已经减少了 j 的枚举范围，减少了这段代码的时间开销。

对于A2：

我们可以在此之上进一步优化。

两个数是否都一定要枚举出来呢？枚举其中一个数之后，题目的条件已经确定了其他的要素（另一个数）的条件，如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在，就可以省掉枚举后一个数的时间了。较为进阶地，在数据范围允许的情况下，我们可以使用桶1记录遍历过的数。

//要求 a 数组中的数2的绝对值都小于 MAXN
bool met[MAXN * 2];
// 初始化 met 数组为 0
memset(met, 0, sizeof(met));
for (int i = 0; i < n; ++i)
{if (met[MAXN - a[i]])++ans;// 为了避免负数下标met[a[i] + MAXN] = 1;
}

复杂度分析

时间复杂度分析：对 a 数组遍历了一遍就能完成题目要求，当 n 足够大的时候时间复杂度为(n)

空间复杂度分析：( n + max { |x| ：x  a } )

OI Wiki 原文：枚举 - OI Wiki

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