奇怪的电梯问题优化建议

针对"奇怪的电梯"问题，有以下几个优化方向和改进方案，以提升算法效率和代码质量：

1. 双向BFS优化

双向BFS即双向广度优先搜索，是一种图搜索算法。普通BFS从起始节点单向搜索到目标节点。而双向BFS同时从起始节点和目标节点开始搜索，分别向对方节点方向扩展。

在搜索过程中，当两个方向的搜索路径相遇时，就找到了从起始节点到目标节点的路径。这种方法相比单向BFS，在很多情况下能显著减少搜索的节点数量，提高搜索效率，尤其适用于搜索空间较大、起始节点和目标节点相对明确的问题，像一些路径规划、状态空间搜索等场景，能有效节省计算资源和时间 。

🤖🤖双向BFS可以显著减少搜索空间，特别适用于起点和终点都明确的情况。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;const int MAXN = 205;
int K[MAXN];
int N, A, B;int bidirectional_bfs() {if (A == B) return 0;queue<int> q1, q2;unordered_map<int, int> vis1, vis2;q1.push(A); vis1[A] = 0;q2.push(B); vis2[B] = 0;while (!q1.empty() && !q2.empty()) {// 从起点方向扩展if (!q1.empty()) {int current = q1.front(); q1.pop();int steps = vis1[current];// 向上移动int up = current + K[current];if (up <= N) {if (vis2.count(up)) return steps + 1 + vis2[up];if (!vis1.count(up)) {vis1[up] = steps + 1;q1.push(up);}}// 向下移动int down = current - K[current];if (down >= 1) {if (vis2.count(down)) return steps + 1 + vis2[down];if (!vis1.count(down)) {vis1[down] = steps + 1;q1.push(down);}}}// 从终点方向扩展if (!q2.empty()) {int current = q2.front(); q2.pop();int steps = vis2[current];// 反向向上移动（实际是向下）int up = current + K[current];if (up <= N) {if (vis1.count(up)) return steps + 1 + vis1[up];if (!vis2.count(up)) {vis2[up] = steps + 1;q2.push(up);}}// 反向下移动（实际是向上）int down = current - K[current];if (down >= 1) {if (vis1.count(down)) return steps + 1 + vis1[down];if (!vis2.count(down)) {vis2[down] = steps + 1;q2.push(down);}}}}return -1;
}

2. 迭代加深DFS (IDDFS)

迭代加深深度优先搜索（Iterative Deepening Depth-First Search, IDDFS）是一种结合了深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）优点的算法。

原理

1. 分阶段搜索：
   通过逐步增加深度限制（从1开始递增），执行多次深度受限的DFS。每次仅在当前深度阈值内探索，若未找到目标则扩大深度限制并重新搜索。

2. 保留DFS优点：
   内存消耗低（仅需存储当前路径，空间复杂度为 $O(b\cdot d)$，$b$ 为分支因子，$d$ 为解的深度）。

3. 模拟BFS特性：
   保证首次找到的解是最短路径（最优解），类似BFS的效果，但无需维护多层节点队列。

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实现步骤

1. 初始化：设定初始深度限制 $\text{limit}=0$。
2. 循环搜索：
   • 执行深度受限的DFS，传递当前深度限制。
   • 若在限制内找到解，返回结果；否则递增 $\text{limit}$ 并重复。
3. 终止条件：找到解或确认无解时停止。

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伪代码示例

def iddfs(root):limit = 0while True:result = depth_limited_search(root, limit)if result is not None:return resultlimit += 1def depth_limited_search(node, limit):if is_goal(node):return nodeelif limit <= 0:return Noneelse:for child in expand(node):result = depth_limited_search(child, limit - 1)if result is not None:return resultreturn None

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适用场景

• 内存敏感环境：如嵌入式系统或大规模图搜索，需减少内存占用。
• 最短路径需求：需保证找到的解为最少步骤时（如棋类游戏的最佳走法）。
• 状态可复用：每次深度限制变化后，搜索可从根节点重新开始，无需额外状态管理。

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优缺点对比

优点	缺点
内存效率高（$O(b\cdot d)$）	最坏时间复杂度与BFS相同（$O(b^d)$）
易于实现，兼容DFS逻辑	对无限深度问题需设置最大限制以避免死循环
保证找到最短路径	多次重复搜索可能导致冗余计算

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关键点

• 剪枝优化：可在受限DFS中加入启发式剪枝（如A*的评估函数）以提升效率。
• 双向搜索：结合双向IDDFS进一步减少搜索空间。
• 动态调整：根据问题特性自适应调整深度增量策略。

通过合理应用IDDFS，可以在资源受限的场景下高效求解最短路径问题。

即结合了DFS的空间效率和BFS的最优解特性。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int MAXN = 205;
int K[MAXN], vis[MAXN];
int N, A, B;bool iddfs(int current, int depth, int max_depth) {if (current == B) return true;if (depth == max_depth) return false;vis[current] = 1;// 向上移动int up = current + K[current];if (up <= N && !vis[up] && iddfs(up, depth+1, max_depth)) {return true;}// 向下移动int down = current - K[current];if (down >= 1 && !vis[down] && iddfs(down, depth+1, max_depth)) {return true;}vis[current] = 0;return false;
}int find_min_steps() {for (int max_depth = 0; max_depth <= N; ++max_depth) {memset(vis, 0, sizeof(vis));if (iddfs(A, 0, max_depth)) {return max_depth;}}return -1;
}

3. 预处理优化

提前计算可能的跳跃路径，建立邻接表。

邻接表是一种用于表示图的数据结构，特别适合表示稀疏图（边数远少于顶点数平方的图）。

邻接表由以下两部分组成：

• 一个数组或列表，用于存储所有顶点
• 对于每个顶点，用一个链表（或其他动态数据结构）存储与该顶点相邻的所有顶点

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;const int MAXN = 205;
vector<int> adj[MAXN];
int N, A, B;void build_graph() {for (int i = 1; i <= N; ++i) {if (i + K[i] <= N) adj[i].push_back(i + K[i]);if (i - K[i] >= 1) adj[i].push_back(i - K[i]);}
}int bfs_optimized() {vector<int> dist(N+1, -1);queue<int> q;dist[A] = 0;q.push(A);while (!q.empty()) {int current = q.front(); q.pop();for (int neighbor : adj[current]) {if (dist[neighbor] == -1) {dist[neighbor] = dist[current] + 1;if (neighbor == B) return dist[neighbor];q.push(neighbor);}}}return -1;
}

4. 启发式搜索 (A*算法)

引入启发式函数指导搜索方向。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;const int MAXN = 205;
int K[MAXN], N, A, B;int heuristic(int floor) {return abs(floor - B);  // 简单的曼哈顿距离
}int astar() {vector<int> g(N+1, INT_MAX);vector<bool> closed(N+1, false);priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> open;g[A] = 0;open.push({heuristic(A), A});while (!open.empty()) {int current = open.top().second; open.pop();if (current == B) return g[current];if (closed[current]) continue;closed[current] = true;// 向上移动int up = current + K[current];if (up <= N && g[current] + 1 < g[up]) {g[up] = g[current] + 1;open.push({g[up] + heuristic(up), up});}// 向下移动int down = current - K[current];if (down >= 1 && g[current] + 1 < g[down]) {g[down] = g[current] + 1;open.push({g[down] + heuristic(down), down});}}return -1;
}

优化策略对比

优化方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
标准BFS	O(N)	O(N)	通用情况
双向BFS	O(N^(d/2))	O(N^(d/2))	起点终点明确
IDDFS	O(b^d)	O(d)	深度受限，空间紧张
预处理+邻接表	O(N+E)	O(N+E)	多次查询
A*算法	取决于启发式函数	O(N)	有良好启发式函数可用的情况

实际应用建议

1. 对于编程竞赛：推荐使用标准BFS或双向BFS，实现简单且效率有保障
2. 对于大规模数据：考虑预处理建立邻接表，或使用A*算法🌏🌏
3. 对于内存受限环境：可以使用IDDFS来节省空间
4. 对于多次查询：预处理所有可能的跳跃关系，建立完整的图结构

进一步优化思路

1. 层级跳跃优化：对于K_i值较大的情况，可以尝试跳跃多个K_i的倍数
2. 记忆化搜索：在DFS中记录中间结果，避免重复计算
3. 并行搜索：利用多线程同时从多个方向进行搜索
4. 概率模型：根据楼层分布特点，优先搜索更可能到达目标的路径

选择哪种优化方法取决于具体的问题规模、约束条件和性能要求。在实际应用中，建议先实现标准BFS，再根据性能测试结果决定是否需要进一步优化。🐍🐍🐍