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一、堆的定义与结构

堆的本质是一颗完全二叉树，只是它的要求比完全二叉树更加严格，它要求每颗子树的根节点都是当前子树的最大值或最小值，当根节点是最大值时，它就是一个大根堆，当根节点是最小值时，它就是一个小根堆

在上篇文章中我们也提到了，存储完全二叉树可以使用数组，存储非完全二叉树可以使用链表，而堆就是一种特殊的完全二叉树，所以堆的存储我们就使用数组，也就是顺序表的形式，如图：

我们将堆这个完全二叉树从上至下，从左至右的数据存放在数组中，至于怎么保证它每颗子树的根节点都是当前子树的最大值或最小值，我们在入堆和出堆的位置细讲，而顺序表的结构我们已经很熟悉了，这里直接写出来：

typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;

二、堆的实现

1.堆的初始化和销毁

堆的初始化

堆的初始化就是将数组置空，有效数据个数和容量大小置0，如下：

//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的销毁

堆的销毁就是先判断数组是否为空，不为空就将它释放掉，因为数组的空间是我们向操作系统申请来的，不会主动释放，如果我们不主动释放就会造成内存泄漏，最后我们将数组置空，有效数据个数和容量大小置0，如下：

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if (php->arr)//不为空就释放{free(php->arr);}php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

2.向上调整算法和入堆

接下来就是入堆操作，也就是向堆中插入数据，但是我们要知道，一般往数组中插入数据都是向数组尾部插入，那么是不是就会出现，原本堆的每颗子树的根节点都是当前子树的最大值或最小值，但是从尾部插入数据后会打破这个平衡，如图：

可以看到，原本的堆是一个小根堆，但是我们插入一个5之后，它就不构成小根堆了，这个时候就要用到我们的向上调整算法，当然，如果插入一个数据后还依然构成小根堆的话，我们就不做处理即可

向上调整算法

在讲解向上调整算法时，我们就统一以小根堆为例，向上调整算法的本质就是将我们插入的数据当作孩子节点，让它和它的父节点进行比较

那么有了孩子节点，怎么找到父节点呢？其实我们在上一篇讲过，父节点parent的下标等于(child-1)/2，找到父节点后，我们就看插入的数据是不是比它的父节点还小，如果是那么就直接进行交换，否则就不做操作，如图：

但是我们发现交换一次后还是没有构成小根堆，所以向上调整算法要求，只要我们做了交换，那么就让child走到parent，parent再走到新的child的父节点，继续进行比较，直到child为0，此时它就没有父亲节点了，停止向上调整，如图：

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType x = *p1;*p1 = *p2;*p2 = x;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr,int child)
{//根据传来的孩子节点算父亲节点int parent = (child - 1) / 2;//child>0是循环条件,因为要保证数据是数组元素while (child > 0){//如果是建小堆，就是<if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//更新父节点和子节点child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else//child >= parent，不用交换{break;}}
}

这里是建小根堆的写法，如果想要建大堆，那么将 小于 改成 大于 即可

入堆

有了向上调整算法我们入堆就很简单了，只需要将数据插入到数组最后，然后调用向上调整函数，就可以让我们的堆不被打乱

但是我们同时要注意，插入数据之前要检查数组空间大小是否足够，如果不够的话要进行扩容，如下：

//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//入堆前检查空间，不够就扩容if (php->size == php->capacity){//判断capacity是否相等于0，不相等就给2倍php->capacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;//使用realloc初始化tmp数组为0HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,sizeof(HPDataType) *(php->capacity));if (NULL == tmp){perror("realloc fail\n");return;}php->arr = tmp;php->capacity *= 2;//这一步不要忘记}//判断空间后，存放数据php->arr[php->size] = x;//向上调整AdjustUp(php->arr, php->size);php->size++;
}

3.向下调整算法和出堆顶数据

在正式了解向下调整算法和出堆顶数据之前，首先我们要知道堆删除数据是删除堆顶的数据，也就是下标为0的数据，因为堆顶的数据是最特殊的，它是整个堆最大或最小的值，我们在堆的应用会讲到它的用法

那么了解了这一点之后，我们再来想想怎么删除堆顶数据，如果直接头删的话，那么之前堆的结构会完全乱套，我们画个图就知道了，以小根堆为例，如下：

可以看到如果我们直接对堆进行头删的话，整个堆的数据都被打乱了，结构也变乱了，我们要调整的话也无从下手，接下来我们就来介绍删除堆顶数据的正确做法

删除堆顶数据的正确做法就是，交换最后一个数据和堆顶数据，然后让size- -，这样我们就只会影响最后一个数据和堆顶数据，不会影响其它节点，如图：

经过上面的操作，我们就可以发现，我们删除了堆顶数据，只是说将堆中的最后一个数据移到了堆顶，但是也只改变了堆中的最后一个数据的位置，不至于像头删那样将整个堆的结构打乱

那么将堆中的最后一个数据放到了堆顶，此时堆很可能不是一个有效的堆，所以我们需要从堆顶向下调整整个堆，我们需要一个向下调整算法

向下调整算法

经过上面的分析，我们知道堆删除数据后，堆顶元素可能不符合堆的要求，所以我们要从堆顶开始向下调整，要注意的是，我们举例都是以小根堆为例

具体方法就是，将堆顶当作父节点parent，根据2*parent找到它的孩子节点child，最后让父节点和孩子节点进行比较，如果孩子节点更小就进行交换，然后让父亲走到孩子的位置，孩子再走到新父亲的孩子节点

如果孩子节点比父节点更大的话就不做修改，跟我们的向上调整算法类似，但是我们要注意一个点，我们在向下调整的时候，需要看当前父节点的左孩子和右孩子谁小，父节点要和小的那个孩子进行交换，为什么呢？

因为如果父节点和较大的那个孩子进行交换的话，较大的那个孩子就成了堆顶，另一个较小的孩子就比堆顶小，不满足小根堆的条件，如图：

可以发现，在这种情况下，我们经过交换后并不符合堆的要求，因为原本的右孩子较小，但是父节点是和左孩子进行交换的，导致较大的左孩子到了堆顶，不符合堆的要求

所以我们在进行向下调整时，找到左孩子child后，还要先判断一下左右孩子谁更小，如果左孩子更小就不需要做更改，如果右孩子更小就让child++，这样就可以让child走到更小的右孩子了(注意左右孩子的关系，右孩子比左孩子的下标大1)

那么有了正确的思路之后我们重新走一遍上面的过程，看看有没有问题，如图：

通过一系列的画图分析，我们直接根据思路写出对应的代码即可，如下：

//向下调整--多传一个n，是循环的结束条件
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{//根据父节点算出左孩子int child = parent * 2 + 1;while (child < n)//向下调整不能越界{//如果右孩子存在,并且比左孩子小if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]){child++;//就让孩子变成右孩子}//孩子小于父亲就交换if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//交换后，更新child 、 parentparent = child;child = 2 * parent + 1;}else{//父节点小于子节点break;}}
}

出堆

上面我们其实已经完整讲解了出堆的过程，这里我们再次回顾一下，出堆就是指删除堆中的堆顶数据，方法就是交换堆顶和最后一个数据，让size- -，间接删除了堆顶数据，然后最后一个数据到了堆顶，再对它进行向下调整即可
   那么有了思路我们就可以直接写代码了，如下：

//出堆顶元素
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));//堆不为空才出堆//删除数据---size是总大小，所以-1是最后一个元素的下标Swap(php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);//交换首尾元素php->size--;//交换删除后，得到新首尾，向下调整AdjustDown(php->arr, 0, php->arr);//0是父节点
}

4.堆的有效数据个数和判空

堆的有效数据个数

堆的有效数据个数由size记录，直接返回size即可

//堆的有效数据个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

堆的判空

堆的判空就是判断堆的有效数据个数是否为0，也是跟size相关

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{return php->size == 0;
}

5.取堆顶数据

取堆顶数据就是取堆中下标为0位置的数据

//取堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);return php->arr[0];
}

三、堆的源码

#include <stdio.h>
#include <errno.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if (php->arr)//不为空就释放{free(php->arr);}php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType x = *p1;*p1 = *p2;*p2 = x;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr,int child)
{//根据传来的孩子节点算父亲节点int parent = (child - 1) / 2;//child>0是循环条件,因为要保证数据是数组元素while (child > 0){//如果是建小堆，就是<if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//更新父节点和子节点child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else//child >= parent，不用交换{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//入堆前检查空间，不够就扩容if (php->size == php->capacity){//判断capacity是否相等于0，不相等就给2倍php->capacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;//使用realloc初始化tmp数组为0HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,sizeof(HPDataType) *php->capacity);if (NULL == tmp){perror("realloc fail\n");return;}php->arr = tmp;php->capacity *= 2;//这一步不要忘记}//判断空间后，存放数据php->arr[php->size] = x;//向上调整AdjustUp(php->arr, php->size);php->size++;
}//向下调整--多传一个n，是循环的结束条件
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{//根据父节点算出左孩子int child = parent * 2 + 1;while (child < n)//向下调整不能越界{//如果右孩子存在,并且比左孩子小if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]){child++;//就让孩子变成右孩子}//孩子小于父亲就交换if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//交换后，更新child 、 parentparent = child;child = 2 * parent + 1;}else{//父节点小于子节点break;}}
}//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{return php->size == 0;
}//出堆顶元素
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));//堆不为空才出堆//删除数据---size是总大小，所以-1是最后一个元素的下标Swap(php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);//交换首尾元素php->size--;//交换删除后，得到新首尾，向下调整AdjustDown(php->arr, 0, php->arr);//0是父节点
}//堆的有效数据个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}//取堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);return php->arr[0];
}