深度学习基础:线性代数的本质1——深入理解向量

ops/2025/3/16 8:28:44/

目录

一、向量是什么

1. 从物理学角度

2. 从计算机专业角度

3. 从数学角度

4. 思考向量的特点方式

 

① 向量是空间中的箭头

② 向量是有序的数字列表

二、向量加法和向量相乘

1. 向量加法

2. 向量相乘


一、向量是什么

线性代数中最基础,最根源的组成部分。

一般来说有三种看待向量的观点,看似不同却有所关联,分别为在物理学,数学,计算机上的观点。

1. 从物理学角度

  • 向量是空间中的箭头
  • 决定一个向量的是:它的长度和它所指的方向
  • 向量可以在空间中如何位置落脚(起点),但是在线性代数中向量(通常以坐标系中的原点为起点)

2. 从计算机专业角度

  • 向量是有序的数字列表
  • 向量不过是“列表”一个花哨的说法
  • 向量的维度等于“列表”的长度

3. 从数学角度

从数学来说,它的本质就是通用和抽象,所以,数学家希望概括这两种观点

  • 向量可以是任何东西,只需要保证:两个向量相加及数字与向量相乘是有意义的即可
  • 向量加法向量乘法贯穿线性代数始终,十分重要

4. 思考向量的特点方式

① 向量是空间中的箭头

从几何方面思考向量,当遇到向量时,首先考虑一个箭头以及落在某个坐标系中,比如x-y平面,并且箭头起点为原点,这里和物理学角度的不同,向量可以在空间中如何位置落脚(起点),但是在线性代数中向量(通常以坐标系中的原点为起点)

② 向量是有序的数字列表

可以通过向量坐标来理解,一对向量坐标由一对数构成,这对数指导你如何从原点(向量起点)触发到达它的尖端(向量终点)

  • 第一个数告诉你沿着x轴走多远,正数代表向右移动,负数代表向左移动

  • 第二数告诉你在次之后沿着平行y轴的方向多远,正数代表向上移动,负数代表向下移动

二维空间中的向量

 为了把向量和点区分开,通常把向量竖着写,然后用方括号括起来

三维空间中的向量

 

每个向量与一个有序三元数组对应 

二、向量加法和向量相乘

线性代数围绕两种基本运算:向量加法与向量数乘

1. 向量加法

平移向量使向量首尾相连,则向量相加的结果是第一个向量的起点到最后一个向量的终点。

向量相加

理解:把每个向量看作一种特定的运动,及在空间中朝着某个方向迈出一定的,先按v的运动方式运动,然后按照w的运动方式运动,总体运动效果与沿着这两个向量的和运动无异。

        

2. 向量相乘

向量的数乘运算就是对向量进行缩放,等于将向量中的各个元素(分量)分别进行缩放。实际上自始至终,数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量。


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