主要参考学习资料：

《机器学习算法的数学解析与Python实现》莫凡 著

前置知识：线性代数-Python

问题背景

回归问题是一类预测连续值的问题，满足这样要求的数学模型称作回归模型。

线性方程指未知数都是一次的方程，其图像为一条直线。

线性回归问题的回归模型使用线性方程，适用于数据集点沿线性分布的场景。

数学模型

假设函数

假设函数是一个将输入映射到输出的函数，用于预测输出变量的值。

线性回归模型的假设函数：

$H(x)={\mathbf{w}}^T{x}_i+b$

其中$\mathbf{w}$为模型参数/权重，$x_i$为模型输入，均为$n$维向量。$b$为偏置项。

损失函数

损失函数是一个体现预测值与真实值的偏差的函数。

线性回归模型的损失函数：

$L(x)={\Vert \hat{y}-y\Vert }_2^2$

其中$\hat{y}$为预测值，$y$为真实值。

符号$\Vert \Vert$为范数正则化，简称范数。下标$n$表示$\mathrm{L}n$范数，即$n$维欧几里得空间的距离，例如：

${\Vert x\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$

${\Vert x\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$

优化方法

优化方法是以损失函数为依据将偏差减到最小的方法，通常使用梯度下降等现成算法，此处即通过调节参数$\mathbf{w}$和$b$使损失函数求得最小值：

$\underset{\mathrm{w},b}{\min }{\Vert \hat{y}-y\Vert }_2^2$

以$\mathbf{w}$为例，其调节方法为 ：

${\mathbf{w}}_{新}={\mathbf{w}}_{旧}-学习率\ast 损失值$

学习率是一个由外部输入用于控制训练过程的参数，称为超参数，影响每次偏差带来的参数调整幅度。

损失值可通过损失函数对$\mathbf{w}$求偏导得出。

训练步骤

①为假设函数初始化参数$\mathbf{w}$和$b$。

②将每个训练样本$x_i$代入假设函数，最终计算损失值。

③利用优化方法调整假设函数的参数，重复以上步骤使得损失值最小。

代码实现

Scikit-Learn对各类机器学习算法进行了良好封装，可以调用简单的函数来实现模型训练，安装命令为：

pip install -U scikit-learn

基于Scikit-Learn库的线性回归算法：

python">#从Scikit-Learn库导入线性模型
from sklearn import linear_model import matplotlib.pyplot as plt  
import numpy as np  #生成数据集，样本特征x为间隔均匀的序列，结果y由线性方程给出
x = np.linspace(-3, 3, 30)  
y = 2*x + 1  #将数据集从一维数组转换为二维数组以符合scikit-learn的输入要求
x1 = [[i] for i in x]  
y1 = [[i] for i in y]  #创建线性回归模型
model = linear_model.LinearRegression()  
#训练模型
model.fit(x1, y1)  #绘制拟合线条，predict方法返回模型对输入的预测值
plt.plot(x, model.predict(x1), color='red')  
#绘制原始数据点
plt.scatter(x, y)  
#显示图像
plt.show()

运行结果：

若要添加随机扰动，生成较不规则的数据集，可将代码对应部分替换为：

x = np.linspace(-3, 3, 30)  
y = 2*x + 1  
x = x+np.random.rand(30)  

运行结果：

可以通过$\text{model.coef}\_$和$\text{model.intercept}\_$得到模型当前$\mathbf{w}$和$b$的值。

特点

优点：形式简单，可解释性强，容易理解和实现。

缺点：不能表达复杂的模式，对于非线性问题表现不佳。

应用领域：金融、气象预报等能够用线性关系进行描述的问题领域。