1.27 线性代数王国：矩阵分解实战指南
目录
1.27.1 SVD推荐系统实战
1.27.2 稀疏矩阵优化分解
1.27.3 数值稳定性与条件数
1.27.4 量子计算模拟实现
1.27.5 GPU加速性能测试
1.27.1 SVD推荐系统实战
电影推荐系统完整案例
python">import numpy as np
from scipy.linalg import svd# 生成用户-电影评分矩阵（6用户x5电影）
ratings = np.array([[5, 3, 0, 1, 2],[4, 0, 0, 1, 0],[1, 1, 0, 5, 0],[1, 0, 0, 4, 0],[0, 1, 5, 4, 0],[2, 1, 3, 0, 5]
], dtype=np.float32)# 执行SVD分解
U, sigma, Vt = svd(ratings, full_matrices=False)
k = 2 # 保留前2个奇异值
U_k = U[:, :k]
sigma_k = np.diag(sigma[:k])
Vt_k = Vt[:k, :]# 重建低秩近似矩阵
approx_ratings = U_k @ sigma_k @ Vt_k# 预测用户3对电影2的评分
user_idx = 2
movie_idx = 1
pred_rating = approx_ratings[user_idx, movie_idx]
print(f"预测评分: {pred_rating:.2f}") # 输出: 1.07
1.27.2 稀疏矩阵优化分解
交替最小二乘法（ALS）实现
python">def als(matrix, k=2, steps=10, lambda_=0.1):"""稀疏矩阵分解优化算法"""m, n = matrix.shapeU = np.random.rand(m, k)V = np.random.rand(n, k)for _ in range(steps):# 固定V，优化Ufor i in range(m):V_i = V[matrix[i] > 0] # 只考虑有评分的项if len(V_i) > 0:A = V_i.T @ V_i + lambda_ * np.eye(k)b = V_i.T @ matrix[i, matrix[i] > 0]U[i] = np.linalg.solve(A, b)# 固定U，优化Vfor j in range(n):U_j = U[matrix[:,j] > 0]if len(U_j) > 0:A = U_j.T @ U_j + lambda_ * np.eye(k)b = U_j.T @ matrix[matrix[:,j] > 0, j]V[j] = np.linalg.solve(A, b)return U, V# 运行ALS分解
U_als, V_als = als(ratings, k=2)
print("ALS分解误差:", np.linalg.norm(ratings - U_als @ V_als.T))
1.27.3 数值稳定性与条件数
条件数对分解的影响
python"># 生成希尔伯特矩阵（高条件数）
hilbert = np.array([[1/(i+j+1) for j in range(5)] for i in range(5)])# 计算条件数
cond_number = np.linalg.cond(hilbert)
print(f"希尔伯特矩阵条件数: {cond_number:.2e}") # 约4.77e+05# LU分解稳定性测试
P, L, U = scipy.linalg.lu(hilbert)
reconstructed = P @ L @ U
error = np.linalg.norm(hilbert - reconstructed)
print(f"LU分解重建误差: {error:.2e}") # 约1.11e-15# 数学公式
$$
\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|
$$
1.27.4 量子计算模拟实现
量子态演化模拟
python">def quantum_evolution(initial_state, hamiltonian, time):"""量子态演化模拟"""# 计算时间演化算子evolution_op = scipy.linalg.expm(-1j * hamiltonian * time)# 应用演化算子return evolution_op @ initial_state# 定义单量子位系统
sigma_x = np.array([[0, 1], [1, 0]]) # Pauli X矩阵
initial = np.array([1, 0]) # |0>态
H = 0.5 * sigma_x # 哈密顿量# 模拟时间演化
times = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
states = [quantum_evolution(initial, H, t) for t in times]# 可视化概率演化
prob_0 = [np.abs(s[0])**2 for s in states]
plt.plot(times, prob_0)
plt.title("量子态|0>的概率演化")
plt.xlabel("时间")
plt.ylabel("概率")
plt.show()
1.27.5 GPU加速性能测试
CuPy加速SVD分解
python">import cupy as cp# 生成大规模矩阵
cpu_matrix = np.random.rand(5000, 5000)
gpu_matrix = cp.asarray(cpu_matrix)# CPU性能测试
%timeit np.linalg.svd(cpu_matrix) # 约120秒# GPU性能测试
%timeit cp.linalg.svd(gpu_matrix) # 约18秒（含数据传输）# 仅计算时间比较
gpu_matrix = cp.random.rand(5000, 5000) # 直接在GPU生成数据
%timeit cp.linalg.svd(gpu_matrix) # 约9秒# 加速比计算
$$
\text{加速比} = \frac{120}{9} \approx 13.3\times
$$
参考文献
| 参考资料名称 | 链接 |
|---|---|
| NumPy线性代数文档 | https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.linalg.html |
| 推荐系统实践 | https://www.coursera.org/learn/matrix-factorization |
| 数值线性代数 | https://mathworld.wolfram.com/ConditionNumber.html |
| 量子计算基础 | https://qiskit.org/textbook/ch-algorithms/quantum-simulation.html |
| CuPy文档 | https://docs.cupy.dev/en/stable/reference/generated/cupy.linalg.svd.html |
| 稀疏矩阵分解论文 | https://dl.acm.org/doi/10.1145/1401890.1401944 |
| IEEE浮点标准 | https://ieeexplore.ieee.org/document/8766229 |
| 量子算法综述 | https://arxiv.org/abs/1804.03719 |
| GPU加速原理 | https://developer.nvidia.com/cuda-toolkit |
| 矩阵分解教程 | https://www.cs.cmu.edu/~venkatg/teaching/CStheory-infoage/book-chapter-4.pdf |
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