一、符号运算介绍

1、符号运算的特点

（1）符号运算以推理方式进行，不受计算误差累积所带来的困扰。

（2）符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数值解（封闭解不存在时）。

（3）符号计算指令的调用比较简单，与教科书上的公式相近。

（4）符号计算所需的运行时间相对较长。

2、MATLAB中的符号运算

（1）MATLAB的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能，如符号表达式的运算、符号矩阵的运算、符号微积分、符号作图、符号代数方程求解、符号微分方程求解等，此外，该工具箱还支持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。

（2）符号运算举例：

①求一元二次方程的根：

②求函数的一次导数：

③计算在区间[a, b]上的定积分：

二、符号对象与基本符号运算

1、符号对象与符号表达式

（1）在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，符号对象可以是符号变量、符号表达式等，其中符号表达式是含有符号对象的表达式，符号矩阵/数组是元素为符号表达式的矩阵/数组。

（2）符号对象使用sym、syms进行定义/声明。

①sym用来建立单个符号对象，一般调用格式为“<符号变量> = sym(x)”，参数x可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串。

②syms用来声明多个符号变量，一般调用格式为“syms <符号变量1> <符号变量2> ... <符号变量n>”。

（3）建立符号表达式通常有以下2种方法：

①使用已经定义的符号变量组成符号表达式。

②用sym函数直接建立符号表达式。

（4）符号矩阵（包括矢量）：

①符号矩阵可使用sym函数直接生成，也可将数值矩阵转化成符号矩阵。

②符号矩阵中元素的引用和修改操作与数值矩阵相似，这里不再赘述。

2、基本符号运算

（1）MATLAB符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称和使用上都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同。

（2）基本运算符：

（3）基本数学函数：三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等。

三、symvar、subs和vpa

1、symvar

（1）语句“symvar(s)”的作用是按字母顺序列出符号表达式s中的所有符号变量。

（2）语句“symvar(s, N)”的作用是列出符号表达式s中离x最近的N个符号变量（这个距离指的是两个符号变量对应的ASCII码的差距），若有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII码大者优先。

2、subs

        语句“subs(s,x,a)”的作用是用a替换符号表达式s中的符号变量x，这里的a可以是数值表达式或符号表达式（符号变量若没有声明则需要加上单引号）。

3、vpa

        语句“vpa(s,n)”的作用是计算表达式s的值，保留n位有效数字，返回值是符号对象。

四、常见的符号计算

1、因式分解

（1）使用语句“factor(f)”可对符号表达式f进行因式分解。

（2）factor实际上也可用于正整数的分解，但对大整数进行因式分解前需要将其转化成符号常量，否则会报错。

2、函数展开

        使用语句“expand(f)”可将符号表达式对应的函数展开。

3、合并同类项

（1）使用语句“collect(f,v)”可对符号表达式f按指定变量v进行合并。

（2）使用语句“collect(f)”可对符号表达式f按默认变量进行合并，此时等效于使用语句“collect(f,1)”。

4、函数简化

（1）使用语句“simplify(f)”可对符号表达式f对应的函数进行化简。

（2）使用语句“y=simple(f)”也可对符号表达式对应的函数进行化简，不过它会对f尝试多种不同的方法（包括simplify）进行简化，以寻求其最简短形式。

（3）使用语句“[N,D]=numden(f)”可对符号表达式f对应的函数进行通分，分子存放在N中，分母存放在D中。

（4）使用语句“horner(f)”可将符号表达式f对应的函数转化为horner多项式。

5、计算极限

        极限的计算可使用命令limit，如下所示，其中f为符号表达式，x为符号变量。

6、计算导数

        导数的计算可使用命令diff，如下所示，其中f为符号表达式，v为符号变量。

7、计算积分

        积分的计算可使用命令int，如下所示，其中f为符号表达式，v为符号变量。

8、级数求和

        级数的计算可使用命令symsum，如下所示，其中f为符号表达式，v为符号变量，另外b可以取Inf（无穷大），这样就可以计算无穷级数。

9、反函数

        反函数的计算可使用命令symsum，如下所示，其中f为符号表达式，v为符号变量。

10、代数方程求解

（1）solve：

①语句“solve(f,v)”可对方程f = 0以v为求解变量进行求解，如果省略v则是对默认变量进行求解。

②solve也可以用来解方程组，具体语句为“solve(f1,f2, ...,fn, v1,v2, ...,vn)”，其中f为方程组中各方程对应的符号表达式，v为需要求解的变量。

（2）dsolve：

①dsolve可用于求解微分方程，具体语句为“dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v')”，其中y为输出的解，eq1、eq2、... 为微分方程，cond1、cond2、... 为初值条件（如果省略初值条件，则表示求通解），v为自变量（如果省略自变量，则默认自变量为t）。

②微分方程中用D表示对自变量的导数，如Dy表示y对自变量的一阶导数，D2y表示y对自变量的二阶导数。

③若dsolve找不到解析解，则返回其积分形式。只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解，大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。

④dsolve的输出个数只能为一个或与方程个数相等，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出，如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构类型的数据。