在计算机科学中，树（Tree）是一种重要的基础数据结构，广泛应用于许多领域，如文件系统的目录结构、数据库的索引、编译器的语法树、人工智能的决策树等。理解树的基本概念和术语，对于学习计算机科学及其相关技术具有重要的意义。本篇博客将通过清晰的定义和图示，带领大家逐步了解树的基础知识，适合初学者进行学习和掌握。

什么是树？

基本定义

树是一种非线性的数据结构，它由若干节点和连接这些节点的边构成。树的特点是层次性，即每个节点与其子节点之间有明确的父子关系。树的每个节点可以有多个子节点，但只能有一个父节点。树结构具有递归性质：树的子树本身仍然是树。树具有许多重要的应用，比如表示层次关系、组织数据结构、实现高效的查找等。

空树与非空树

树的概念也包括空树。空树是指没有任何节点的树，节点数为0，通常我们不关心空树的结构。在计算机中，空树可以作为递归算法的基准条件，即当树为空时，递归停止。

对于非空树来说，它总是有且仅有一个根节点。根节点是树的最上层节点，所有其他节点都可以通过根节点间接访问到。

树的表示

树的结构通常由节点和边来表示。每个节点包含一个数据元素（值），并通过边与其他节点连接。树的根节点是整个树的起始点，而树的其他节点通过边与根节点或其他节点相连，形成一个层次结构。

树的常见术语

节点（Node）

树的每个元素都叫做一个节点。节点包含两部分内容：数据（值）和指向子节点的指针。树的节点是构建整个树的基本单元。

根节点（Root Node）

根节点是树的起始节点，树的所有其他节点都可以通过根节点访问。树中只有一个根节点，因此根节点是唯一的。对于每棵树来说，根节点的层次是0。

父节点和子节点（Parent and Child）

在树中，节点之间通过边进行连接，节点间的关系是父子关系。假设节点A通过一条边连接到节点B，那么节点A就是节点B的父节点，节点B则是节点A的子节点。每个节点最多只有一个父节点，但可以有多个子节点。

兄弟节点（Sibling）

在树中，具有相同父节点的节点被称为兄弟节点。例如，如果节点A和节点B有相同的父节点P，那么A和B就是兄弟节点。

叶子节点（Leaf Node）

叶子节点是没有子节点的节点，度为0。它是树的最底层节点，通常出现在树的末端。叶子节点在树的遍历中通常是访问的终点。

度（Degree）

节点的度是指该节点所拥有的子节点的数量。度可以用来描述树结构的“宽度”，即一个节点可以有多少个分支。例如，度为0的节点是叶子节点，而度大于0的节点则是分支节点。

树的度通常是指所有节点中度的最大值。换句话说，树的度就是树中最“宽”节点的度。

深度（Depth）

节点的深度是指从根节点到该节点的路径上的边的数量。根节点的深度为0，而根节点的直接子节点的深度为1，依此类推。深度反映了节点距离树根的远近。

高度（Height）

节点的高度是指从该节点到树的最远叶子节点的路径上的边的数量。换句话说，节点的高度是从该节点开始，经过多少层的子节点才能到达叶子节点。树的高度是树中所有节点高度的最大值，通常是树的最深层次。

层次（Level）

节点的层次即深度，表示从根节点开始的第几层。根节点是第一层，其子节点是第二层，以此类推。层次有助于表示树的结构层次感。

树的高度

树的高度是指树中根节点到最远叶子节点的最长路径上边的数量。树的高度等于树中节点的最大深度。树的高度通常用来描述树的深度，影响树的遍历和操作效率。

树的类型

我们先简单了解一下常见树的类型，对于重要的树结构和特性我们会在后期逐步介绍，敬请关注。

有序树与无序树

树可以分为有序树和无序树。不同之处在于子节点的顺序是否重要：

• 有序树：有序树中的子节点顺序是固定的，不能随意改变。换句话说，在有序树中，节点的排列顺序是有意义的。常见的应用如表达式树，其中操作数和操作符的顺序是必须严格保持的。
• 无序树：无序树中的子节点顺序不重要，节点可以自由交换位置。无序树适用于那些对子节点顺序没有特定要求的场景，如文件系统中的目录树。

二叉树（Binary Tree）

二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点，通常分别称为左子节点和右子节点。二叉树在许多算法和数据结构中有广泛应用，比如二叉查找树、堆、平衡二叉树等。

完全二叉树（Complete Binary Tree）

完全二叉树是指一棵二叉树，除了最后一层外，每一层的节点数都达到最大值，且最后一层的节点尽可能集中在左边。完全二叉树是一种非常平衡的二叉树结构。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它满足以下条件：任何节点的左子树和右子树的高度差不超过1。平衡二叉树常用于保持高效的查找、插入和删除操作，如AVL树和红黑树。

搜索树（Search Tree）

搜索树，尤其是二叉搜索树（BST），是一种特殊的二叉树，它满足以下条件：对于树中的每个节点，左子树的所有节点的值小于该节点的值，右子树的所有节点的值大于该节点的值。这使得二叉搜索树能够高效地进行查找、插入和删除操作。

AVL树和红黑树

AVL树和红黑树都是自平衡二叉搜索树的实现。它们通过一些旋转操作来保持树的平衡性，从而保证在最坏情况下依然能提供对数时间复杂度的查找、插入和删除操作。

森林

所谓森林就说由m棵不相交的树的集合，树可以为空树，所以森林也是可以为空森林（如图所示）。

树的操作

树的操作包括节点的插入、删除、查找、遍历等。以下是常见的几种操作：

• 插入操作：向树中插入一个新节点。在二叉搜索树中，插入操作需要根据节点值的大小来决定插入的位置。
• 删除操作：删除树中的一个节点。删除操作通常较为复杂，特别是在树中间节点删除时，需要重新调整树的结构。
• 查找操作：查找树中的某个节点或值。查找操作通常利用树的层次结构进行优化，如在二叉搜索树中，查找过程可以通过比较节点值的大小，快速定位目标节点。
• 遍历操作：遍历树是指按照一定的顺序访问树中的每个节点。常见的遍历方式有：先序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历（重点内容，后期逐步介绍）。

小结

树是一种非常重要的基础数据结构，广泛应用于各个计算机领域。。树不仅是算法设计中不可或缺的工具，还是很多实际问题解决中的关键数据结构。我们后续会不断更新数据结构相关的内容，感兴趣的化可以给我点点关注支持支持。