内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著

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1

设 $X\sim N_p(\mu ,\Sigma ),\Sigma >0$

则 $X^{\prime }{\Sigma }^{-1}X\sim {\chi }^2(p,\delta )$，其中 $\delta ={\mu }^{\prime }{\Sigma }^{-1}\mu$

证明

因为 $\Sigma >0$，所以存在可逆矩阵 $C$

有 $\Sigma =C{C}^{\prime }$

令 $Y=C^{-1}X$，则

$$Y\sim N_p(C^{-1}\mu ,C^{-1}\Sigma (C^{-1}{)}^{\prime })=N_p(C^{-1}\mu ,I)$$

且

$$X^{\prime }{\Sigma }^{-1}X=Y^{\prime }{C}^{\prime }{\Sigma }^{-1}CY=Y^{\prime }Y\sim {\chi }^2(p,\delta )$$

其中 $\delta =(C^{-1}\mu {)}^{\prime }(C^{-1}\mu )={\mu }^{\prime }{\Sigma }^{-1}\mu$

2

设 $X\sim N_p(\mu ,\Sigma ),\Sigma >0$

$A$ 为对称矩阵，$rank(A)=r$

则

$$(X-\mu {)}^{\prime }A(X-\mu )\sim {\chi }^2(r)⟺\Sigma A\Sigma A\Sigma =\Sigma A\Sigma$$

证明

因为 $\Sigma >0$

所以它的平方根矩阵 ${\Sigma }^{1/2}>0$

所以存在正交矩阵 $\Gamma$ 使得

$${\Sigma }^{1/2}=\Gamma diag(\sqrt{{\lambda }_1},\cdots ,\sqrt{{\lambda }_r}){\Gamma }^{\prime }$$

其中 ${\lambda }_i$ 是 $\Sigma$ 的特征值

令 $Y={\Sigma }^{-1/2}(X-\mu )\sim N_p(0,I)$，则

$$(X-\mu {)}^{\prime }A(X-\mu )=Y^{\prime }{\Sigma }^{1/2}A{\Sigma }^{1/2}Y$$

设 $C={\Sigma }^{1/2}A{\Sigma }^{1/2}$，结合上篇笔记-分量独立的n维正态随机向量的二次型的结论有

$$Y^{\prime }CY\sim {\chi }^2(p)⟺C^2=C$$

即

$${\Sigma }^{1/2}A{\Sigma }^{1/2}\cdot {\Sigma }^{1/2}A{\Sigma }^{1/2}={\Sigma }^{1/2}A{\Sigma }^{1/2}$$

3

$设X\sim N_p(\mu ,\Sigma ),\Sigma >0$

$A,B$ 为 $p$ 阶非对称矩阵，则

$$\begin{gathered} (X-\mu {)}^{\prime }A(X-\mu )与(X-\mu {)}^{\prime }B(X-\mu )独立 \\ ⟺\Sigma A\Sigma B\Sigma =0 \end{gathered}$$