【图像处理lec3、4】空间域的图像增强

1. 空间域图像增强的背景与目标

2. 空间域处理的数学描述

3. 灰度级变换

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

5、分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

Case 2: 灰度切片

Case 3: 按位切片

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

（2）直方图归一化

（3）直方图生成与显示

（4）直方图的对比分析

（5）代码示例

（6）直方图均衡化

i、目标：

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

iii、直方图均衡的变换函数

iv、离散版本的直方图均衡

9、直方图匹配

（1）原理概述

（2）直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

Step 3: 建立映射关系

Step 4: 应用映射

（3）示例

10、线性空间滤波

11、图像锐化

（1）锐化空间滤波的基本概念

（2）拉普拉斯滤波

（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）

（4）图像梯度的计算与Sobel算子

12、非线性空间滤波

（1）定义与特点

（2）MATLAB工具箱中的非线性滤波

（3）具体实现与矩阵操作

13、非线性空间滤波去噪（去除椒盐噪声）

（1）非线性空间滤波工具 ordfilt2

（2）中值滤波器 medfilt2

（3）中值滤波的去噪效果对比

1. 空间域图像增强的背景与目标

图像增强的目标：通过处理图像使其对特定应用更适合。这里强调“特定应用”是问题导向的，因此增强方法没有统一的理论标准。
分类：
- 空间域方法：直接操作图像的像素。
- 频域方法：基于傅里叶变换的操作。
图像处理的评价：
- 对于视觉感知，评价取决于人类观察效果。
- 对于机器感知，如字符识别，评价通过任务完成度衡量。

2. 空间域处理的数学描述

数学表达式： $g(x, y) = T[f(x, y)]$ ，其中 $T$ 是一个操作符，可作用于像素的某个邻域。
邻域选择：通常使用方形或矩形邻域，因其易于实现。
最简单形式为强度变换，表示为 $s = T(r)$ ，即像素值的变换。

3. 灰度级变换

作用：调整图像像素值以实现增强效果。
示例中展示了不同的变换函数（例如S型和阶梯型），对应灰度范围从暗到亮的不同映射。
效果：调整对比度或强调特定灰度范围。

4. 幂律变换（Power-Law Transformation）

数学公式： $s = c r^\gamma$ ，通过调节 $\gamma$ 控制对比度。

典型应用：
- Gamma校正：用于显示器的线性响应矫正。
- 对比度增强：通过不同 $\gamma$ 值调整图像的细节和亮度。
下图展示了在医疗图像和航空图像中，通过不同的 $\gamma$ 值实现对比增强效果。

5、分段线性变换

Case 1: 对比度拉伸

内容：图像的对比度拉伸通过增强低对比度区域来提高图像的视觉质量。
方法：
- 输入灰度值 $r$ 与输出灰度值 $T(r)$ 之间建立分段线性关系。
- 拉伸低对比度部分（通过设定阈值 $r_1, r_2$ ）。
- 示例：在原始低对比度图像上应用对比度拉伸，明显提高了对比度，增强了视觉效果。

Case 2: 灰度切片

内容：通过灰度切片方法突出特定灰度范围的特性。
方法：
- 两种形式：将感兴趣的灰度范围值保留，其他灰度值置为常数；或保留所有灰度值，但突出特定范围。
- 应用：医学影像中，突出特定组织或结构。

Case 3: 按位切片

内容：按位切片以分离图像的不同比特平面。
方法：
- 图像由 8 个位平面组成，从最不重要位 (LSB) 到最重要位 (MSB)。
- 应用：观察 MSB 可以捕获主要图像结构，LSB 常用于存储隐藏数据（如水印）。

6、图像处理工具箱中的函数 imadjust

功能：imadjust 是 MATLAB 的图像处理工具箱中用于调整图像强度值分布的函数。
语法：g = imadjust(f, [low_in high_in], [low_out high_out], gamma)
- 参数解释：
  - low_in, high_in：输入强度值的范围。
  - low_out, high_out：映射到的输出强度值范围。
  - gamma：控制曲线的非线性程度。
特点：
- gamma < 1：增强较暗区域的亮度。
- gamma > 1：增强较亮区域的亮度。
- 默认情况下，gamma = 1 表示线性映射。

示例：
- 通过不同的参数组合调整乳腺图像对比度，以更清晰地观察病变区域。

图1左侧是从一个乳腺影像文件（Fig0303(a)(breast).tif）读取的，使用 imshow(I) 显示该图像，显示的是原始未处理的乳腺 X 光片。

图1右侧使用 G = imadjust(I, [0 1], [1 0]) 对原始图像进行处理，这种调整会产生一个负片效果，即原本亮的区域变暗，暗的区域变亮，显示负片的目的是强调图像中原本不明显的结构特征，方便分析。

图2左侧：对部分强度范围增强

使用 G = imadjust(I, [0.5 0.75], [0 1])。
参数 [0.5 0.75] 选择了图像输入强度值的中间部分进行增强（从 0.5 到 0.75 的灰度范围）。
输出 [0 1] 将这些强度范围映射到全新的灰度范围，增强了这一范围的对比度。
结果是更强烈的对比，突出原图中特定强度范围的细节。

图2右侧：伽马变换增强

使用 G = imadjust(I, [], [], 2)。
参数 [] 表示默认的输入强度范围 [0 1] 和输出强度范围 [0 1]，2 是伽马值。
伽马值为 2 表示对暗部区域的灰度值进行放大（权重偏向暗部区域），使得暗部区域的细节更加清晰。
用于强调图像中的低灰度特征。

6、对数变换（Logarithmic Transformation）

目的：压缩动态范围。对数变换常用于处理动态范围较大的图像数据，例如傅里叶频谱图。
公式： $s = c \cdot \log(1 + r)$ ，其中 $c$ 是常数。
用途：
- 压缩高动态范围数据，例如从 $[0, 10^6]$ 压缩到较小范围。
- 通过 MATLAB 中的命令实现，例如 g = im2uint8(mat2gray(log(1 + double(f))))。
例子：傅里叶频谱图

7、对比度拉伸（Contrast-Stretching Transformation）

公式： $s = \frac{1}{1 + (\frac{m}{r})^E}$ ，其中 $m$ 为强度阈值， $E$ 控制函数的斜率。

作用：
- 将较低或较高的输入灰度值压缩到更窄的范围。
- 提高图像对比度，尤其适合灰度值分布范围有限的图像。
MATLAB 实现：通过对应的公式，使用 double 数据类型进行计算。

8、直方图均衡

（1）直方图的定义

图像的直方图是强度值的分布统计，是增强、压缩、分割和描述等图像处理操作的基础。
，其中：
- $r_k$ ：第 $k$ 个强度值；
- $n_k$ ：强度值为 $r_k$ 的像素数量。

（2）直方图归一化

通过归一化直方图，可以将像素数量转化为概率分布： $p(r_k) = \frac{h(r_k)}{N}$ 这里 $N$ 是总像素数。直方图归一化可以表示为灰度值强度的概率估计。

（3）直方图生成与显示

使用 MATLAB 函数 imhist 和 bar 绘制直方图：
- imhist(f, b)：计算直方图， $b$ 是灰度级分箱的数量。
- bar(horz, h1, width)：绘制条形图，其中 horz 为横轴刻度，h1 为直方图数据。

（4）直方图的对比分析

直方图可以帮助可视化图像的亮度分布。例如：
- 暗图像的直方图主要集中在灰度较低的部分；
- 亮图像的直方图主要集中在灰度较高的部分。

（5）代码示例

生成直方图：

f = imread('Fig3_8_a.tif');
h = imhist(f);
bar(h);

绘制条形直方图：

s = imread('Fig0303(a).tif');
h1 = imhist(s, 16);
horz = 1:16;
bar(horz, h1, 0.8);

（6）直方图均衡化

i、目标：

增强图像的对比度。
将图像的灰度分布调整为近似均匀分布。

ii、概率密度函数 (PDF) 和累计分布函数 (CDF)

PDF（概率密度函数）：
- 图像中每个灰度级的出现概率。
- 定义为：其中：
  - $r_k$ 是灰度级，
  - $n_k$ 是灰度级 $r_k$ 的像素个数，
  - N 是总像素数。
CDF（累计分布函数）：
- 累计分布函数是 PDF 的积分，用来表示灰度值从最小到当前灰度值的累计概率： $T(r_k) = \sum_{j=0}^k p_r(r_j)$ 或连续形式： $T(r) = \int_0^r p_r(w) dw$ 累计分布函数的值范围是 [0,1]。

iii、直方图均衡的变换函数

直方图均衡的变换函数恰好就是累计分布函数：

变换函数被定义为原始灰度级概率密度函数的累积分布函数 $T(r)$ ：

$s = T(r) = \int_0^r p_r(w) \, dw$

其中 $w$ 是积分的中间变量，代表从 0 到 $r$ 的所有灰度级， $s$ 是变换后的灰度值，是近似均匀分布的。

本质：将原图像的灰度级 $r_k$ 按上述累积分布函数映射为新的灰度级 $s_k$ 。这个过程实现了原始灰度分布到均匀分布的调整，最终得到对比度均衡化的图像。

定性理解：原灰度值比较集中的区域，概率密度比较大，概率密度的累计函数增长比较快，从而使得较短的就灰度值区域转换为较长的新的灰度值区域，即让原灰度值集中的区域分散；而原灰度值比较分散的区域，概率密度比较小，概率密度的累计函数增长缓慢，使得较长的原灰度值区域被转换为角度的新灰度值区域，即让原灰度值分散的区域集中。

证明新的灰度值分布 s 服从均匀分布：

推导新的概率密度函数 $p_s(s)$ ，

$p_s(s)$ 的定义为： $p_s(s) = p_r(r) \left| \frac{dr}{ds} \right|$
根据变换 $T(r)$ 的定义（ $s=T(r)$ ），求导得： $\frac{dT(r)}{dr} = p_r(r) \implies \frac{dr}{ds} = \frac{1}{p_r(r)}$
代入 $p_s(s)$ 的表达式： $p_s(s) = p_r(r) \cdot \frac{1}{p_r(r)} = 1$
结论： 经过变换后，新的灰度级概率密度函数 $p_s(s)$ 是均匀分布，满足直方图均衡化目标。

iv、离散版本的直方图均衡

在实际实现中，图像是离散的，其灰度级的概率密度可以表示为：
$p_r(r_k) = \frac{n_k}{N}$
其中 $n_k$ 是灰度级 $r_k$ 的像素数量， $N$ 是图像总像素数。
累积分布函数的离散形式为：
$T(r_k) = s_k = \sum_{j=0}^k p_r(r_j) = \sum_{j=0}^k \frac{n_j}{N}$
这意味着每个像素的新的灰度级 $s_k$ 由其对应的累积概率决定。

9、直方图匹配

直方图匹配（Histogram Matching 或 Histogram Specification）是一种图像处理技术，其目标是将输入图像的直方图调整为目标图像或目标直方图的分布。相比于直方图均衡化，直方图匹配允许更灵活地调整图像的灰度分布，以适应特定需求。

（1）原理概述

直方图匹配的核心是将输入图像 $f$ 的灰度级分布调整为与目标图像 $g$ 的灰度级分布相同。

输入图像直方图： $H_f(r)$ ，表示输入图像中灰度级 $r$ 的概率分布。
目标直方图： $H_g(z)$ ，表示目标图像中灰度级 $z$ 的概率分布。

通过设计一个映射函数 $T(r)$ ，使得调整后的灰度分布 $s = T(r)$ 匹配目标直方图。

（2）直方图匹配的步骤

Step 1: 计算输入图像的累积分布函数 (CDF)

输入图像灰度级 $r$ 的累积分布函数定义为：

$S(r) = \int_0^r p_r(w) \, dw$

或者在离散情况下：

$S(r_k) = \sum_{j=0}^k \frac{n_j}{N}$

其中：

$n_j$ 是灰度级 $r_j$ 的像素数量。
$N$ 是图像总像素数。

$S(r)$ 是原始概率密度 $p_r(r)$ 到均匀分布的映射。

Step 2: 计算目标图像的累积分布函数 (CDF)

目标图像灰度级 $z$ 的累积分布函数定义为：

$G(z) = \int_0^z p_g(w) \, dw$

或者在离散情况下：

$G(z_k) = \sum_{j=0}^k \frac{m_j}{M}$

其中：

$m_j$ 是目标直方图中灰度级 $z_j$ 的像素数量。
$M$ 是目标图像的总像素数（或者是目标直方图的总和）。

$G(z)$ 是目标图像灰度值概率密度 $p_g(r)$ 到均匀分布的映射； $G^{-1}(z)$ 是均匀分布到目标图像灰度值概率密度 $p_g(r)$ 的映射。而这里的均匀分布如果采用映射 $S(r)$ 的输出，那么就实现了原图灰度值概率密度 $p_r(r)$ 到目标图概率密度 $p_g(r)$ 的转换。

Step 3: 建立映射关系

输入图像中每个灰度值 $r_k$ 的对应映射 $z$ 满足：

$S(r_k) = G(z_k)$ ，这两个映射的结果都是均匀分布，所以相等。

通过求解 $z_k$ ，找到 $r_k$ 到 $z_k$ 的映射关系。

在离散情况下，通过最近邻法或插值找到 $z_k$ 与 $r_k$ 的对应关系： $z_k = G^{-1}(S(r_k))$

Step 4: 应用映射

对输入图像的每个像素值 $r_k$ ，通过上述映射关系 $T(r_k) = z_k$ 替换其值，最终获得直方图匹配后的图像。

（3）示例

直方图均衡：

输入图像（左侧的图）是 Mars 月亮 Phobos 的图片。
使用默认的 256-bin 直方图进行均衡，发现输出结果（右侧的图）不理想。
其原因是原始图像的像素值主要集中在低灰度区，导致均衡后产生大量离散化的高灰度值。

改进：直方图匹配：

为了解决上述问题，可以引入**双峰高斯模型（Bimodal Gaussian Model）**作为目标直方图，使其更符合原始图像的分布特性：
- $m_1, m_2$ ：两个高斯分布的均值。
- $\sigma_1, \sigma_2$ ：标准差。
- $A_1, A_2$ ：两个分布的权重。
通过指定该模型，生成一个平滑的目标直方图，应用到图像后得到更好的视觉效果。

最终结果：

通过调整目标直方图的形状，输出图像的灰度分布变得更加均匀，细节对比度增强。

10、线性空间滤波

定义与概念： 线性滤波使用固定大小的核（如3x3或5x5）滑动整个图像，对每个像素点应用线性运算。

公式： $g(x, y) = \sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b} \omega(s, t)f(x+s, y+t)$ 其中， $\omega$ 是权值矩阵， $f$ 是输入图像。
滤波模式：
- 平滑滤波器（如平均滤波、加权平均滤波）。
- 卷积与相关的差别：卷积需要将核旋转180度。
使用函数： MATLAB函数imfilter允许使用边界处理选项（replicate、symmetric、circular），支持对边界问题灵活处理。

均值滤波器

如Box滤波器（简单平均）和加权平均滤波器，常用于图像去噪或模糊化。
示例中，均值滤波器的掩模可以是： $\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 或 $\frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

锐化滤波

下面右有详细的分析。

11、图像锐化

（1）锐化空间滤波的基本概念

锐化的目标是突出图像中的细节或增强被模糊的特征，这通过空间微分（spatial differentiation）实现。

一阶导数的要求

一阶导数反映图像的边缘和灰度变化情况，满足以下条件：

在平坦区域（常量灰度区域）为零。
在灰度跳变的起始处非零。
在渐变区域非零。

数学表达：

$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) - f(x)$

二阶导数的要求

二阶导数有助于更精确地定位边缘和变化点，满足以下条件：

在平坦区域为零。
在灰度跳变的起始和结束处非零。
在渐变区域（常量斜坡）为零。

数学表达：

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x+1) + f(x-1) - 2f(x)$

（2）拉普拉斯滤波

拉普拉斯滤波是一种二阶导数滤波器，通过计算图像中每个像素周围灰度变化的加权和来突出边缘。

拉普拉斯函数

二维拉普拉斯算子定义为：

$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

离散实现为：

$\nabla^2 f = [f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)] - 4f(x,y)$

Laplacian 3×3 滤波模板

常用的拉普拉斯模板具有中心系数为负值、周围为正值的结构：
- 弱锐化模板：中心 −4，周围（上下左右）为 +1 ，四角（左上、右上、左下、右下）为0。
- 强锐化模板：中心 −8，周围（上下左右、左上、右上、左下、右下）为 +1 。
- 弱锐化滤波和强锐化滤波示例如下图：

在图中示例中，使用拉普拉斯滤波器对月球图像进行锐化，效果如下：
- 左上图：原始图像。
- 右上图：拉普拉斯滤波响应图（包含边缘信息）。
- 左下图：拉普拉斯滤波后的结果。
- 右下图：通过将拉普拉斯图像从原始图像中减去，实现锐化增强。

图像增强表达式

$g(x,y) = f(x,y) - \nabla^2 f(x,y)$

其中 $g(x,y)$ 是锐化后的图像， $f(x,y)$ 是输入图像。

第一步是通过滤波器提取边缘信息，第二步是将边缘信息与原图像融合。这两步可以合在一起：

$g(x,y) = f(x,y) - \nabla^2 f(x,y) \\ = 5f(x,y) - [f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)]$

两步融合之后的滤波器核为：

（3）高提升滤波（High-Boost Filtering）

高提升滤波是一种基于非锐化掩模（Unsharp Masking）的扩展方法。它通过放大原始图像与模糊图像之间的差异实现锐化。

数学表达

非锐化掩模：

$f_s(x,y) = f(x,y) - \bar{f}(x,y)$

其中 $\bar{f}(x,y)$ 是模糊后的图像， $f_s(x,y)$ 是锐化后的图像。

高提升滤波：

$f_{hb}(x,y) = A f(x,y) - \bar{f}(x,y), \quad A \geq 1$

进一步展开为：

$f_{hb}(x,y) = (A-1)f(x,y) + f_s(x,y)$

当 $A = 1$ 时，退化为普通的非锐化掩模。

结合拉普拉斯的高提升滤波

如果拉普拉斯算子用于计算锐化掩模，则高提升滤波的公式变为：

$f_{hb}(x,y) = (A-1)f(x,y) - \nabla^2 f(x,y)$

或

$f_{hb}(x,y) = (A-1)f(x,y) + \nabla^2 f(x,y)$

图像示例分析

使用不同 $A$ 值进行高提升滤波， $A=1$ 产生基本锐化效果， $A=1.7$ 提供更强烈的锐化。这里其实就是原图与锐化细节融合时减少了原图的权重，使得锐化更加凸显；但这样使得变化后的图像色度减弱了，如果不想色度减弱，就保持原图的权重为1，增大锐化细节的分量。
对比图展示了不同 $A$ 值下的效果，高 $A$ 值更突出边缘和细节。

（4）图像梯度的计算与Sobel算子

图像梯度的基本原理：
- 通过计算图像的一阶导数（梯度）来突出灰度值的变化，用于边缘检测和图像锐化。
- 梯度运算使用微分算子，包括Sobel算子和Prewitt算子，其系数矩阵如图1所示：
  - 这些算子通过卷积操作提取图像边缘信息。
  - Sobel算子（图2右图）增强了边缘对比度，有效检测边缘。

梯度增强效果：
- 左图（光学镜片）表现为平滑图像，右图为通过Sobel梯度算子计算得到的增强图像，显示了边缘和缺陷（4点和5点钟方向）。
- Sobel算子能够有效地检测图像中的轮廓信息，并放大边缘细节。

12、非线性空间滤波

（1）定义与特点

通常基于像素的局部邻域，但不像线性滤波那样应用固定的线性权值运算，而是使用其他数学操作（如取最大值、最小值、中值等）。
主要特点：
- 输出像素值由局部邻域的非线性操作确定（例如，局部最大值操作）。
- 与线性滤波不同，非线性滤波中“滤波核（mask）”的概念并不是必须的。
- 非线性滤波更加灵活，能更好地保留边缘等细节特性。

（2）MATLAB工具箱中的非线性滤波

片子中提到了两种主要函数：nlfilter 和 colfilt。

nlfilter（非线性空间滤波器）
- 在二维图像上直接执行非线性操作。
- 用户可通过打开nlfilter查看其源码。
- 缺点：计算效率相对较低。
colfilt（列过滤器）
- 将数据以列的形式组织成矩阵，然后在每一列上执行操作。
- 内存占用较高，但执行速度快于nlfilter。
- 数据结构组织后，结果更高效，但需要为大规模处理分配更多内存。

片子中的非线性空间滤波主要内容及分析如下：

（3）具体实现与矩阵操作

colfilt 函数原理

输入：
- 图像 $f$ 的大小为 $M \times N$ 。
- 滤波窗口的大小为 $m \times n$ 。
输出：
- 将图像滑动窗口生成一个矩阵 $A$ ，大小为 $mn \times MN$ ，每一列表示图像中邻域窗口的像素。
特点：
- 每一列包含一个邻域窗口的像素数据，方便应用非线性函数对每一列进行单独操作。

colfilt 的函数语法：

$g = \text{colfilt}(f, [m\ n], 'sliding', \text{@fun}, \text{parameters})$

参数说明：
- $[m\ n]$ ：滑动窗口的大小。
- 'sliding'：滑动方式。
- @fun：要应用的函数。
- parameters：传递给函数的参数。
工作流程：
- 函数 fun 将作用于矩阵的每一列，输出为一个行向量 $g$ 。
- 滤波结果 $g$ 的第 $k$ 个元素是 $A$ 的第 $k$ 列应用 fun 操作的结果。

13、非线性空间滤波去噪（去除椒盐噪声）

（1）非线性空间滤波工具 `ordfilt2`

功能：
- ordfilt2 是用于生成顺序统计（或称为秩）滤波器的函数。
- 它通过对邻域中的像素值进行排序，提取指定次序（秩）上的像素值，构成输出图像。
语法：
- g = ordfilt2(f, order, domain)
  - f：输入图像。
  - order：提取排序后的第 order 个元素。
  - domain：定义邻域范围。
- 例如：
  - 最小值滤波器（Min Filter）：ordfilt2(f, 1, ones(m, n))。
  - 中值滤波器：ordfilt2(f, median(1:m*n), ones(m, n))。
应用：
- 这类滤波器主要用于消除特定噪声，例如椒盐噪声。

（2）中值滤波器 `medfilt2`

功能：
- 中值滤波器是一种特殊的秩滤波器，是非线性空间滤波中最重要的工具之一。
- 它通过计算邻域内像素值的中值替换中心像素，达到平滑图像的目的。
语法：
- g = medfilt2(f, [m n], padopt)
  - m, n：邻域窗口大小。
  - padopt：边界填充选项（如 zeros、symmetric、indexed）。
- 默认边界处理为 zeros 填充。
实验证明：
- 中值滤波对椒盐噪声有显著的去噪效果，同时保留边缘细节。

（3）中值滤波的去噪效果对比

原理与操作：
- 首先加载一幅受椒盐噪声污染的电路板图像（左图）。
- 对其进行不同模式的中值滤波处理：
  - 默认 zeros 填充方式（中图）。
  - symmetric 填充方式（右图）。

结果分析：
- 噪声图像（左图）经过中值滤波处理后：
  - 使用默认边界模式（中图）：边界处可能存在异常伪影。
  - 使用 symmetric 填充（右图）：边界伪影显著减少，处理效果更平滑。
- 结果证明：
  - 中值滤波对于椒盐噪声有显著的去除效果，尤其在 symmetric 模式下表现更优。