647.回文子串

题目描述：

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

代码：

class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));int result = 0;// 注意遍历顺序, 从下往上，从左往右for (int i = s.size(); i >= 0; i --) {for (int j = i; j < s.size(); j ++) {if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) {dp[i][j] = true;result ++;} else if (dp[i + 1][j - 1] == true) {dp[i][j] = true;result ++;}}}}return result;}
};

代码解析

1. 定义与初始化:

   vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
   int result = 0;
   

   • dp[i][j] 表示子串 s[i...j] 是否为回文子串。
   • 初始值设为 false，表示所有子串尚未判断。
   • result 用于计数回文子串的数量。

2. 遍历顺序:

   for (int i = s.size(); i >= 0; i --) {for (int j = i; j < s.size(); j ++) {
   

   • 外层循环从字符串末尾向前遍历 i。
   • 内层循环从 i 向字符串末尾遍历 j。
   • 这种遍历顺序保证在计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1] 已经被计算过。

3. 判断是否为回文子串:

   if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) {dp[i][j] = true;result ++;} else if (dp[i + 1][j - 1] == true) {dp[i][j] = true;result ++;}
   }
   

   • 如果 s[i] == s[j]，那么有两种情况：
     1. 如果子串长度为 1 或 2（j - i <= 1），直接为回文。
     2. 如果子串长度大于 2，检查内部子串 s[i+1...j-1] 是否是回文（即 dp[i+1][j-1] 是否为 true）。
   • 每次确认 dp[i][j] = true 后，将 result 加 1。

4. 返回结果:

   return result;
   

   • 返回统计的回文子串总数。

---

示例分析

输入: "abc"

过程:

1. 初始化:
   • dp 全为 false，result = 0。
2. 遍历:
   • i = 2, j = 2 → s[2] == s[2] → dp[2][2] = true → result = 1
   • i = 1, j = 1 → s[1] == s[1] → dp[1][1] = true → result = 2
   • i = 0, j = 0 → s[0] == s[0] → dp[0][0] = true → result = 3
3. 返回 result = 3。

输入: "aaa"

过程:

1. 初始化:
   • dp 全为 false，result = 0。
2. 遍历:
   • i = 2, j = 2 → s[2] == s[2] → dp[2][2] = true → result = 1
   • i = 1, j = 2 → s[1] == s[2] → dp[1][2] = true → result = 2
   • i = 1, j = 1 → s[1] == s[1] → dp[1][1] = true → result = 3
   • i = 0, j = 2 → s[0] == s[2] → dp[0][2] = true → result = 4
   • i = 0, j = 1 → s[0] == s[1] → dp[0][1] = true → result = 5
   • i = 0, j = 0 → s[0] == s[0] → dp[0][0] = true → result = 6
3. 返回 result = 6。

516.最长回文子序列

题目描述：

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

代码：

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i ++) {dp[i][i] = 1;}for (int i = s.size() - 1; i >=0; i --) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j ++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][s.size() - 1];}
};

代码解析

1. 定义与初始化:

   vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i ++) {dp[i][i] = 1;
   }
   

   • 定义一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示字符串 s[i...j] 的最长回文子序列长度。
   • 初始化 dp[i][i] = 1，因为单个字符本身是长度为 1 的回文子序列。

2. 状态转移方程:

   for (int i = s.size() - 1; i >=0; i --) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j ++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}
   }
   

   • 遍历顺序：
     • 外层从字符串末尾开始，i 逐渐向前移动。
     • 内层从 i+1 开始，j 逐渐向后移动。
     • 这种顺序确保每次计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1]、dp[i+1][j]、dp[i][j-1] 均已被计算。
   • 转移逻辑：
     1. 如果 s[i] == s[j]，说明 s[i] 和 s[j] 能够扩展回文子序列，因此长度加 2，即： dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
     2. 如果 s[i] != s[j]，则取决于 s[i+1...j] 和 s[i...j-1] 的最长回文子序列，取两者的较大值： dp[i][j]=max⁡(dp[i+1][j],dp[i][j−1])dp[i][j] = \max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])

3. 返回结果:

   return dp[0][s.size() - 1];
   

   • 返回整个字符串（s[0...s.size()-1]）的最长回文子序列长度。

---

示例分析

示例 1:

输入: "bbbab"
过程:

1. 初始化:

   dp = [[1, 0, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 0, 1]]
   

2. 逐步填表：
   • i=4,j=4i=4, j=4：已初始化。
   • i=3,j=4i=3, j=4：s[3] != s[4] → dp[3][4] = max(dp[4][4], dp[3][3]) = 1
   • i=2,j=3i=2, j=3：s[2] != s[3] → dp[2][3] = max(dp[3][3], dp[2][2]) = 1
   • i=2,j=4i=2, j=4：s[2] != s[4] → dp[2][4] = max(dp[3][4], dp[2][3]) = 1
   • i=1,j=2i=1, j=2：s[1] == s[2] → dp[1][2] = dp[2][1] + 2 = 3
   • 继续直到 i=0,j=4i=0, j=4。
3. 最终 dp[0][4] = 4。 输出: 4。