学习资料：bilibili 西湖大学赵世钰老师的【强化学习的数学原理】课程。链接：强化学习的数学原理 西湖大学 赵世钰

---

一、为什么return重要？如何计算return？

上面三幅图分别代表三个策略，从直观上我们可以判断，左边策略是最好的，因为它不经过forbidden area就能到达终点；中间策略是最差的，因为它经过了forbidden area；右边策略是既不好也不差的，因为它有一定的概率经过forbioden area到达终点，也有一定的概率不经过forbidden area而直接到达终点。

那么，该如何用数学的方式来直观地表达不同策略的优劣呢？答案就是用return来表示。

对于左边策略，计算return1：

对于中间策略，计算return2：

对于右边策略，计算return3：
严格来说这个return3已经不再是return的概念了，因为return的定义表明，return是根据一个轨迹trajectory计算出来的，而这里的return3是根据两个轨迹共同计算出来的。这里的return3其实是后面state value的概念。

得出结果，return1>return3>return2。所以，可以用return来直观地表达不同策略的优劣。

那么该如何计算return呢？
请看下图推导过程。发现从不同状态出发得到的return，依赖于从其他状态得到的return。这个idea在强化学习中被称为bootstrapping，常常指从自己出发，不断迭代所得到的结果。因此，下面有4个未知数v1-v4，同时也有4个方程，所以可以使用线性代数的方法解出未知数。


上图中的式子其实就是贝尔曼公式，但只适用于确定性问题。上面这个式子告诉我们：一个状态的value实际上依赖于其他状态的value。

下图是一个应用的小例子，可以辅助理解。

二、state value的定义

下图介绍了一些符号。
注意：
（1）$R_{t+1}$其实也可以写成$R_t$，就是说在状态$S_t$下选择了动作$A_t$，得到了奖励$R_t$。这是说得通的，但一般都习惯性地写成$R_{t+1}$。
（2）S、A、R都是随机变量，所以可以对它们求期望等操作。
（3）这个single-step process是由概率分布决定的。（见下图三行蓝字）
（4）我们假设我们已知模型，即已知概率分布。

考虑下面的trajectory。在状态$S_t$下选择了动作$A_t$，得到了奖励$R_t$，转移到状态$S_{t+1}$，再选择动作$A_{t+1}$……对这一个trajectory，可以求discounted return，结果用$G_t$表示。

有了上面的铺垫，下面来讨论state value。下图是对state value的定义。$G_t$表示一个trajectory的discounted return，而state value就是$G_t$的期望值/平均值，这个期望值是在当前状态s下来计算的，也就是对多个trajectory的平均。
state value表示为$v_{\pi }(s)$，也可以表示为$v(s,\pi )$。

注意：
（1）$v_{\pi }(s)$是关于s的一个函数，所以从不同的状态s出发，会得到不同的trajectory，因而discounted return也不同，期望值也不同。
（2）$v_{\pi }(s)$是一个与策略相关的函数。不同的策略也会带来不同的state value。
（3）$v_{\pi }(s)$代表状态s的价值，如果某一个状态s的state value更大，则代表从该状态s出发，可能得到更多的return。
（4）return 和 state value 有什么区别？return是针对单个trajectory求出来的奖励，而state value是对多个trajectory得到的奖励再求平均值。

例：针对图中3个策略分别计算其state value。

三、Bellman公式的详细推导

下图回顾了trajectory的含义，以及$G_t$可以被写成当前的即时回报$R_{t+1}$与未来回报$G_{t+1}$的和。然后我们再看state value的定义，state value本质上是对多个trajectory的累计回报求均值，而求均值这个操作是可以被拆分的，因此可以转化成下图中蓝字所呈现的形式。其中，$E[R_{t+1}|S_t=s]$ 表示在状态s下获得的即时回报$R_{t+1}$的期望，$E[G_{t+1}|S_t=s]$ 表示在状态s下，从下一个状态出发，走过多个trajectory的累计回报的均值。下面，分别计算 $E[R_{t+1}|S_t=s]$ 和 $E[G_{t+1}|S_t=s]$ 。

首先，计算 $E[R_{t+1}|S_t=s]$。 $E[R_{t+1}|S_t=s]$ 表示在状态s下获得的即时回报$R_{t+1}$的期望。在状态s下，我可以选择动作$a_1$，$a_2$，$a_3$…，而对于其中任意一个动作$a_i$，都有可能带来不同的即时回报$r_1$，$r_2$，$r_3$…，所有这些即时回报的均值就是我们要求的$R_{t+1}$。所以，要求 $E[R_{t+1}|S_t=s]$，先算在状态s下可能选择哪些动作a，以及选择动作a的概率$\pi (a|s)$有多大，如下图推导过程中第1行所示。然后再算 $E[R_{t+1}|S_t=s,A_t=a]$，即在状态s的情况下，选择动作a可能会带来哪些回报r，带来回报r的概率 $p(r|s,a)$ 有多大。

然后，计算 $E[G_{t+1}|S_t=s]$ 。$E[G_{t+1}|S_t=s]$ 表示在状态s下，从下一个状态出发，走过多个trajectory的累计回报的均值。

先看下面推导过程中的第1行。要算 $E[G_{t+1}|S_t=s]$，也就是要算从当前状态s出发，能够到达哪些状态？这些状态的每一个 $G_{t+1}$ 分别是什么？把所有的 $G_{t+1}$ 都求出来，再取一个均值，就得到了 $E[G_{t+1}|S_t=s]$。第1行中的 $p(s^{\prime }|s)$ 表示从当前状态s出发，转移到状态s’的概率。 $E[G_{t+1}|S_t=s,S_{t+1}=s^{\prime }]$ 表示当前状态为s，下一个状态为s’时所获得的state value。

再看下面推导过程中的第2行。第2行其实是对第1行进行了简化。根据马尔科夫决策过程的无记忆性（memoryless property），在t+1时刻所获得的累计回报return $G_{t+1}$ 只和 t+1 时刻的状态有关，和 t 时刻的状态是没关系的，所以可以去掉公式中的 $S_t=s$ 部分。

再看下面推导过程中的第3行。 $E[G_{t+1}|S_{t+1}=s^{\prime }]$ 其实就是 $v_{\pi }(s^{\prime })$ ，可以再进一步简化。

再看下面推导过程中的第4行。 $p(s^{\prime }|s)$ 表示从当前状态s出发，转移到状态s’的概率，可对其进一步扩展。表示从当前状态s出发，选择状态a，转移到状态s’的概率 $p(s^{\prime }|s,a)$，再乘上从当前状态s出发，选择动作a的概率 $\pi (a|s)$。

现在，可以给出贝尔曼公式的表达式。

Highlights：
（1）贝尔曼公式描述了不同状态的state value之间的关系。比如，在上式中，状态s的state value 和状态s’的state value，两者的关系就可以通过贝尔曼公式表达出来。
（2）公式包含两项，一部分是即时奖励，一部分是未来奖励。
（3）这个式子不仅仅针对一个状态s，对于状态空间S中的任意一个状态s，上述式子都是成立的。所以如果有n个状态，就对应着n个式子。
（4） $v_{\pi }(s)$ 的计算可以通过bootstrapping的方法。（n个方程，n个未知数，联立求解。）
（5）贝尔曼公式是依赖于policy $\pi (a|s)$ 的。所以对于任何一个policy $\pi (a|s)$ ，如果把state value计算出来，那也就能够评判这个policy $\pi (a|s)$ 的好坏了。这个过程就是policy evaluation。
（6） $p(s^{\prime }|s,a)$ 和 $p(r|s,a)$ 被称作dynamic model。在本节学习过程中，假设这个model是已知的。若不知道这个model，仍然可以计算出state value，这是model free reinforcement learning相关的算法。

下面是一个小练习。参考下面这张图，根据贝尔曼公式，写出这张图对应的贝尔曼方程。得到最下面的结果。其实最终结果也可以通过直接手写方便地得到，0表示即时奖励（r=0），$v_{\pi }(s_3)$表示未来的奖励，再乘上一个折扣因子γ即可。

四、公式向量形式与求解

把贝尔曼公式转换成 Matrix-vector form，更加有利于我们去求解。先对贝尔曼公式进行烟花，转换成下图所示的“即时奖励+未来奖励”的形式。

为了识别不同的状态，在下图的贝尔曼公式中，给状态标上号。如下图所示，$v_{\pi }(s_i)$等于即时奖励$r_{\Pi }(s_i)$再加上未来奖励。从状态$s_i$ 跳转到下一个状态有j中可能性，用转移概率乘上每个状态的state value，就是未来奖励。这个公式可以简化成下图中蓝字的形式。

举一个具体的例子，当只有4种状态的时候，贝尔曼公式可以写成下图的矩阵表示。

这是另一个例子：

为什么要求解state value？
求解出state value后，方便我们去评价一个policy究竟是好还是坏。这也被称作policy evaluation。

如何求解state value？

策略一： closed-form solution
但是，如果状态空间比较大，那么矩阵的维数也比较大，不方便求解。

策略二： iterative solution
在k=0时，假设对于所有的状态s，$v_{\pi }(s)$ 都等于0，把0带入到贝尔曼公式进行计算，得到k=1时的所有$v_{\pi }(s)$ , 再把所有k=1时的 $v_{\pi }(s)$ 代入到贝尔曼公式进行计算，得到k=2时的所有$v_{\pi }(s)$ …… 一直以此类推下去。可以证明，当k趋向于 无穷的时候，$v_k$ 会收敛到$v_{\pi }$ （证明过程略）。

下图展示了两个比较好的策略所计算出的state value.可以发现， （1）靠近target area的格子，它们的state value都比较大，远离target area的格子，它们的state value都比较小；（2）仔细观察能发现，上下两个策略略有不同，但他们算出来的state value都是一样的。所以即使策略不同，算出来的state value也可能相同。

下面是两个比较差的策略。格子的state value基本都是负值。因此可以更直观地发现，可以通过计算state value来评判一个policy是不是好。

五、Action value的定义

state value 和 action value有什么区别和联系呢？
state value 指的是从一个状态出发所得到的average return；
action value 指的是从一个状态出发，并且选择了一个action，所得到的average return。

为什么要关注action value？
因为强化学习的目标是得到一个最优策略，策略实际上是由一系列的action组成（在哪个状态应该选择什么样的action）。那么，对于若干可选的action，我可以选择哪些呢？这就需要根据action value来做判断。

下图是关于action value的定义。有两点需要注意：
（1）action value 是一个关于状态-动作对 $(s,a)$ 的函数。
（2）action value 的值依赖于策略 $\pi$。

在数学上，action value 和 state value 有哪些联系？
本节开头种提到，state value 和 action value 实际上就差了一个动作a。所以 state value 可以写成 action value 再乘上 $\pi (a|s)$ 的形式。如下图所示。

根据之前的推导，贝尔曼公式可以写成下图公式（3）的形式。通过比较式（2）和式（3），可以推导出action value的表达式。如下图种式（4）所示。

公式（2）告诉我们，如果知道了action value，就可以算出state value。
公式（4）告诉我们，如果知道了state value，可以算出action value。

下图是一个例子，看图写action value。因为这个图比较简单，所以可以通过判断“即时奖励”和“未来奖励”的方式很快手写出来。


Highlights：
（1）action value是非常重要的，可以帮助我们确定该选择哪个action。
（2）如何计算action value？有两种方法。第一，可以先把state value都算出来，再套公式计算action value。第二，可以通过数据的方式，不计算state value而直接计算出action value（未来会介绍）。

六、本节课内容summary