第十一章 学习笔记（Rotation About a Fixed Axis）

这一章主要引入了力偶的概念。一对作用在刚体上方向相反，大小相同的力称为力偶。**力偶 ** 对刚体上任意一点的力矩都是相同的。
$$\mathbf{D}=\mathbf{l}\times \mathbf{F}$$
其中 $\mathbf{l}$ 是从 $-\mathbf{F}$ 指向 $\mathbf{F}$ 的，具体可以参考下图。

我们需要强调的是，力偶矢量是可以平移的，这点和普通的力矩矢量是完全不同的。两个力偶，重要他们的大小和方向相同，那么对刚体的作用就是相同的。所以，力偶中的两个力是可以随便移动的，只要保证 $\mathbf{D}$ 不变就行。

第二个重要的概念是作用在刚体上的任意一个力，都可以分解为其他位置的一个力在加上一个力偶。具体可以看下面的图。一个作用在 $P_1$ 点力 ${\mathbf{F}}_1$ 可以平移到 $O^{\prime }$ 点，只要我们在 $O^{\prime }$ 点再加一个反向的力 $-{\mathbf{F}}_1$。 $P_1$ 点的 ${\mathbf{F}}_1$ 和 $O’$ 点的 $-{\mathbf{F}}_1$ 额可以组成一个力偶。这样 $P_1$ 点的${\mathbf{F}}_1$ 就可以用$O^{\prime }$ 点的 ${\mathbf{F}}_1$ 和一个力偶来代替了。

也可以把 $P_1$ 点的${\mathbf{F}}_1$ 用 $O$ 点的力和一个力偶来表示。

因此，无论作用在刚体上的力有多少，我们都可以用一个合力 $\mathbf{F}$ 和 一个 力偶 $\mathbf{D}$ 来代替。通常，为了后续计算方便，我们会让这个合力$\mathbf{F}$ 通过质心。

11.1 Moment of Inertia (Elementary Consideration)

类似于质量，我们可以引入转动惯量这个概念。对于绕固定的 $z$ 轴旋转的刚体。它的动能和动量可以表示为：
$$\begin{gathered} T=\frac{1}{2}\sum m_i{v}_i^2=\frac{{\omega }^2}{2}\sum m_i{r}_i^2=\frac{1}{2}{\omega }^2\Theta \\ L=\sum m_i{v}_i=\omega \sum m_i{r}_i=\omega \Theta \\ \Theta =\sum m_i{r}_i \end{gathered}$$

Steiner’s Theorem （平行轴定理）

这个是一个非常有用的定理。如果我们已知通过质心的轴 AB 的转动惯量${\Theta }_s$ ，另一个轴 A’B’ 平行于 AB 轴，距离AB 轴 d,那么相对这个轴的转动惯量为：$\Theta ={\Theta }_s+M{d}^2$ 。

证明过程可以参考下图。

$$\begin{gathered} {\Theta }_s=\sum m_v|{\mathbf{r}}_v\times \mathbf{e}{|}^2 \\ \Theta =\sum m_v|{\mathbf{r}}_v^{\prime }\times \mathbf{e}{|}^2 \end{gathered}$$
简单化简一下就可以得到结果：
$$\begin{array}{rl}\Theta & =\sum m_v|{\mathbf{r}}_v^{\prime }\times \mathbf{e}{|}^2\\ & =\sum m_v|({\mathbf{r}}_v-\mathbf{b})\times \mathbf{e}{|}^2\\ & =\sum m_v|({\mathbf{r}}_v\times \mathbf{e})-(\mathbf{b}\times \mathbf{e}){|}^2\\ & =\sum m_v|({\mathbf{r}}_v\times \mathbf{e}){|}^2+|(\mathbf{b}\times \mathbf{e}){|}^2-2({\mathbf{r}}_v\times \mathbf{e})(\mathbf{b}\times \mathbf{e})\\ & ={\Theta }_s+M{b}^2-2\sum m_v({\mathbf{r}}_v\times \mathbf{e})(\mathbf{b}\times \mathbf{e})\\ & ={\Theta }_s+M{b}^2-2(\mathbf{b}\times \mathbf{e})\sum (m_v{\mathbf{r}}_v)\times \mathbf{e}\\ & ={\Theta }_s+M{b}^2\end{array}$$
这一章的核心内容就这么多。真正的重点内容都在下一章。