傅里叶变换

在学习傅里叶变换之前，我们先来了解一下欧拉公式。顺便说一下，『欧拉公式』在世界上最伟大的十个公式中排第二名，而『傅里叶变换』在世界上最伟大的十个公式中排第七名。

欧拉公式

在数学中，对于数的集合，在一维数轴上，加法操作可以视为沿着数轴的平移，而乘法操作则可以视为数轴上的伸缩变化。具体来说：

• 加法：在一维数轴上，给一个数加上另一个数，相当于将该数在数轴上向右（或向左，如果是负数）平移相应的距离
• 乘法：在一维数轴上，将一个数乘以另一个数，则相当于将该数在数轴上按比例伸缩

在二维平面上，如果我们想将一个点（比如$(1,0)$）移动到另一个点，可以先在横轴方向上平移，再在纵轴方向上平移即可实现。
除了平移外，也可以利用伸缩和旋转来达到同样的效果。伸缩操作即为点的倍乘，但旋转该如何表达呢？

1. 仅使用旋转，就可以将$(1,0)$变换到$(-1,0)$
2. 在复平面中，存在一个定义：$-1=i\times i$$\to$当单位$i$表示旋转$90°$时，进行两次相同的操作即可从$(1,0)$变换到$(-1,0)$
3. 如果一次$i$操作是逆时针旋转$90°$，正好会落在二维平面y轴上的$(0,1)$，该点距离原点的长度为单位长度
4. 如果$y$轴自带虚数单位，如$i,2i,3i\cdots$，即可通过伸缩和旋转表示二维平面上的所有点

请大家思考一个问题：$i$为什么可以表示旋转？
我们来看一下旋转的定义：旋转是沿着一个圆弧运动的过程
可以通过泰勒展开式得到一个完美的桥梁，用来说明$i$可以表示旋转的原因
$\begin{array}{c}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots \\ sin(x)=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots \\ cos(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots \end{array}$$\Rightarrow$代入$x=i\theta$得：$\begin{array}{rl}{e}^{i\theta }& =1+i\theta +\frac{1}{2!}(i\theta {)}^2+\frac{1}{3!}(i\theta {)}^3+\frac{1}{4!}(i\theta {)}^4+\frac{1}{5!}(i\theta {)}^5+\cdots \\ & =(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+\cdots )+i(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+\cdots )\\ & =cos(\theta )+isin(\theta )\end{array}$

$e^{i\theta }$表示一个圆心在原点，半径为1的单位圆$\Rightarrow$$e^{i\theta }$等价于一种旋转，$\theta$为旋转角的度数

傅里叶变换

傅里叶变换是一个分解声音的过程，其公式为：$F(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-2\pi ift}dt$
乍一看这个公式，肯定是看不懂的，我们需要对其进行分解，然后逐步进行理解
既然傅里叶变换是一个分解声音的过程，我们来看一下什么是声音。
声音的气压是一个随时间以正弦函数形态不断震荡的图像
假设，一个标准音A的频率是440Hz，则其每秒钟振动440次；另外一个低音D的频率是240Hz，则其每秒钟振动240次。如果两个音同时发生，产生的气压随时间变化的曲线就是把所有时间点的振幅加起来
而傅里叶变换，就是从一段随时间变化的气压曲线中，找到组成该气压曲线的原始气压曲线
假设我们有一个每秒钟3拍子的声音信号，它的图像如下（Intensity为强度），我们只关注前面的4.5秒

绕圈记录法

绕圈记录法：同一事物的不同角度$\to$下面的动图是最关键的一步，是【看到】傅立叶变换的核心部分

1. 把黄色曲线缠绕到一个圆上，大小是原本信号的振幅
2. 圆周围的图像由白色的箭头绘制而成，速度可变，上图中的白色箭头移动速度是每秒钟转过半圈
3. 此时，有两个频率在起作用，一个是信号的频率：3次震荡/秒；另一个是图像缠绕中心圆的频率，为0.5圈/秒。第二个频率可以自由改变，相当于一个变量，下面的动图直观的展现了缠绕速度变化时的可视化表现

从最开始的 0.79圈/秒一直变化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原来的信号3次震荡/秒相同，此时会出现一个非常稳定的图像
其实，我们只是把一个水平的轴缠绕到一个单位圆上，并用另一个速度的记录标尺（白色箭头）来画图，从另一个角度（维度）来看我们的信号

质心记录法

质心记录法：新维度的特征提取
我们可以发现，在上面动图中，当白色箭头记录的速度在某些特定的值时，画出来的图形非常稳定、形态清晰
我们在上面提到了一个可以自由改变的转圈速度，我们可以将这个可变化的转圈速度作为傅里叶变换中的自变量
至于输出是什么，我们可以观察下面的动图。当图像很混沌（没有规律，混乱的）时候，图像基本关于原点对称；稳定时，其实是“头重脚轻”的。描述“头重脚轻”最好的方法是使用质心，下面的动图直观展现了质心特征对图像特征的描述能力（红色点为质心）

考虑到质心是一个二维坐标，为了简洁和直观，取质心的横坐标来表示质心的特征
现在，我们可以得到傅里叶变换的输入和输出：

• 输入（横坐标）：白色箭头的绕圈速度
• 输出（纵坐标）：质心位置的横坐标

按照上面的说明来记录绘出图像，记录每个缠绕频率（速度）对应的质心位置（在横坐标等于零点处有一个很大的值，只是因为原来的图像没有关于横轴对称，有一个偏移量）

我们可以看到，新图像的横坐标写的是频率（Frequency），即缠绕圆圈的速度
我们已经得到一个可以用来表示信号频率的工具，把它应用到两个声音的组合图像中看看效果：

傅里叶变换公式

我们已经通过这样一个缠绕机器完成了时域到频域的转换

如何使用数学语言表达这个转圈记录机制呢？

第一步：旋转的表示

上述所有动图中的旋转之所以能够表示，是基于复平面上的指数函数原理，结合泰勒展开公式来实现的

更进一步，指数函数中，以$e$为底的函数有着特殊的性质，如下面动图所示，$e^{2\pi it}$表示的是一秒钟一圈的旋转方程，可以通过频率$f$控制旋转的速度，图中为$\frac{1}{10}$

第二步：缠绕的表示

在傅立叶变换中，我们规定旋转是顺时针的，所以需要先加一个符号。假设原来的函数是$g(t)$，将两者的幅值相乘就能得到缠绕图像$g(t)e^{-2\pi ift}$

第三步：质心的表示

那如何表示质心这一概念呢？有一种解决问题的途径是演绎推理，先从简单的特例出发，推广到一般，最后证明正确性即可
考虑如何求一个正方形的质心位置，我们只需在边框上取$n$个等距离分布的点，并且算这几个点的位置的平均值。那么推广到一般情况，也使用类似的采样点的方式解决，如下面动图所示（紫红色的点即采样点），得到$\frac{1}{N}{\sum }_{k=1}^{N}g(t_k)e^{-2\pi iftk}$

随着采样点的增加，需要使用积分来求解这个问题，如下面动图所示，得到$\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}g(t)e^{-2\pi ift}dt$

最终步：整理积分限和系数

看到常数项系数$\frac{1}{t_2-t_1}$，如果忽略表达倍数关系的系数，对应的含义也会发生变化，不再是质心，而是信号存在的时间越久，位置是质心位置乘以一个倍数，它的值就越大。持续时长为3秒，那么新的位置就是原来质心位置的三倍；持续时长为6秒，就是原来的6倍
一般傅立叶变换公式的上下限是正负无穷，那它的几何直观是什么呢？

参考文献

1、傅里叶变换
2、泰勒公式
3、形象展示傅里叶变换