证明在由特定矩阵生成的幺半子群中，存在收敛序列的子序列，其元素也能分别构成收敛序列

ops/2024/10/25 15:47:59/

设 $H$ 是 $GL_4(\mathbb{R})$ 的由矩阵

$\begin{pmatrix}1&a&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&b&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&c\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

（ $a, b, c \geq 0$ ）生成的幺半子群。选取元素 $y_i,z_i∈H (i=1,2,3,\cdots)$ 使得序列 $y_iz_i)_{i≥1}$ 收敛。证明：存在 $(1,2,3,\cdots)$ 的一个无穷子序列 $i_n)_{n≥1}$ ，使得序列 $y_{i_n})_{n≥1}$ 与 $z_{i_n})_{n≥1}$ 均收敛。

证：

1.构造收敛子序列:

由于 $y_iz_i)$ 收敛，所以 $a_i$ 是有界的。根据Bolzano-Weierstrass定理，存在一个子序列 $a_{i_k})$ 收敛。
同理， $b_i$ 也是有界的，因此也存在一个子序列 $b_{i_k})$ 收敛。

2.对角线法则:

现在我们应用对角线法则来构造共同的子序列。首先找到两个子序列 $i_k)$ 和 $j_l)$ ,使得 $a_{i_k}$ 和 $b_{j_l}$ 分别收敛。

令 $n_1 = \min(i_1, j_1)$ ，然后依次令 $n_2 = \min(i_2, j_2)$ ，以此类推。

3.验证收敛性:

由于 $a_{i_k})$ 收敛,且 $a_{i_k})$ 的每一个元素 $a_{i_k}$ 都在 $i_n)$ 中，因此 $a_{i_n})$ 也收敛。
同理， $b_{j_k})$ 收敛，且 $b_{j_k})$ 的每一个元素 $b_{j_k}$ 都在 $i_n)$ 中，因此 $b_{i_n})$ 也收敛。

综上，存在一个无穷子序列 $(i_n)_{n \geq 1}$ ，使得 $(y_{i_n})_{n \geq 1}$ 和 $(z_{i_n})_{n \geq 1}$ 均收敛。

这个证明过程更加清晰地利用了Bolzano-Weierstrass定理和对角线法则，确保了构造的子序列的正确性和收敛性。

解题思路：

1.明确题目要求:

题目要求我们从序列 $(y_iz_i)_{i \geq 1}$ 收敛的条件出发，找到一个无穷子序列 $(i_n)_{n\geq 1}$ .使得序列 $(y_{i_n})_{n \geq 1}$ 和 $(z_{i_n})_{n \geq 1}$ 均收敛。

2.关于矩阵的形式:

我们知道 $H$ 是由以下类型的矩阵生成的：

其中 $\geq 0$ 。

3.利用序列的收敛性:

根据题意，序列 $(y_iz_i)_{i\geq 1}$ 是收敛的。设其极限为 $L$ ，即： $\lim_{i \to \infty} y_iz_i=L$ 。

4.构造子序列:

由于矩阵的特定结构，任意 $y_i$ 和 $z_i$ 可以表示为:
$y_i = \begin{pmatrix} 1 & a_i &0&0\\0& 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad z_i = \begin{pmatrix} 1 & 0& 0&0\\0&1&b_i&0\\0&0&1&0\\0&0& 0&1 \end{pmatrix}$