量子计算机的原理与物理实现

量子计算机的原理与物理实现很复杂

指导性原则

首先思考制备一台量子计算机需要些什么？需要量子比特——二能级量子系统。除了量子计算机需要满足一些物理特性，它还必须要把量子比特绘制到某种初态上，以及测量系统的输出态。

而实验上的挑战在于，这些条件只能部分被满足。拿硬币正反两面举例，硬币是很糟糕的量子比特，因为其很难处于既表示正面又能表示反面的叠加态。核自旋或许可以实现，因为它可以长时间处于顺或逆外磁场的叠加态。但是从核自旋的方向构建量子计算机就很困难，因为它与周围粒子的耦合太弱，人们难以测量单个原子核的指向。

观察到相互抵触的约束是很普遍的：一台量子计算机必须被很好的孤立起来，以便维持它的量子特性，但又必须很好的被触及，因为需要测量其输出的状态。一个实际的实现在于如何维持这些脆弱的折衷。即困难不在于如何制造一台量子计算机，而在于量子计算机能被造的有多好。

而什么样的物理系统有潜力成为处理量子信息的有些候选者呢？理解某种特定的量子计算机实现的优点的一个关键概念是量子噪声（有时候也被称为退相干（decoherence））。这个概念在之和的文章会介绍。破坏系统的既定演化过程——这是由于最长能允许的量子计算长度由 $\tau _{Q}$ 和 $\tau _{op}$ 的比值确定的，其中 $\tau _{Q}$ 是维持系统的相干性时间， $\tau _{op}$ 是完成一个酉运算的时间。在很多系统中，这两个时间实际上相互关联，它们都由系统与外部世界的耦合强度决定。

量子计算的基本条件

1.稳定表示量子信息

2.完成一组通用的酉变换

3.制备基准初态

4.测量输出结果

量子信息的表示

量子计算基于量子态的变换。量子比特是一些二能级系统，作为量子计算机最简单的建造单元，它们为成对的量子态提供了方便的标志和物理实现。因此，比如自旋3/2的粒子的四个态， $|m= +3 / 2 \rangle$ ， $|m= +1 / 2 \rangle$ ， $|m= -3 / 2 \rangle$ ， $|m= -1 / 2 \rangle$ 可以用来表示两个量子比特。

以计算作为目的，要实现的关键是可访问态的集合是有限的。沿一维直线运动的粒子的位置x通常不适合作为计算态的集合，尽管粒子可能处于量子态 $|x\rangle$ ，乃至叠加态 $\sum_{x}^{}c_{x}|x\rangle$ 。这是由于x处于概率上的连续区域，且具有无限大小的希尔伯特空间，因此无噪声时其信息容量也是无限的。而实际上噪声存在，会把可分态数目降到有限个。

实际上，通常需要把某些对称性献给态空间的有限性，以便把退相干降到最小。比如说，一个自旋1/2粒子的希尔伯特空间由 $|\uparrow \rangle$ 和 $|\downarrow \rangle$ 两个态张成；自旋态不能处于此二维空间之外，当被很好的孤立后就会成为一个近乎完美的量子比特。

如果表示的不好就会退相干。譬如，一个处于有限深方势阱中的粒子，势阱深度足够容纳两个束缚态实现一个平庸的量子比特，因为从束缚态到连续非束缚态的跃迁有可能实现。这将导致退相干，因为会破坏量子比特的叠加态。对于单量子比特来说，质量指标是量子比特的最短寿命。用于自旋和原子系统的一个好的度量是 $T_{2}$ ，形如 $(|0\rangle+|1\rangle)/2$ 的横弛豫时间，而纵弛豫时间T1（高能态）代表经典态的寿命。

方势阱和量子比特

有一个典型的量子系统，称为“方势阱”。指的是一个处于一维盒子中的粒子，其行为遵守薛定谔方程式，此系统的哈密顿量为 $H=p^{2}/2m+V(x)$ ，当0<x<L时V(x)=0，不在此区域V(x)=无穷。在位置空间基失波函数展开下的能量本征态为：

$|\Psi _{n} \rangle=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(\frac{\Pi n}{L}x)$

其中n为整数， $|\Psi (t) \rangle=e^{-iE_{n}t}|\Psi _{n}\rangle$ ，而 $E_{n}= n^{2}\Pi ^{2}/2mL^{2}$ ，这些态具有离散的能谱。定义任意波函数， $|\Psi \rangle = a|\Psi _{1}\rangle+b||\Psi _{2}\rangle$ 。由于

$|\Psi(t) \rangle=e^{-i(E_{1-E_{2}})/2t}[ae^{-\omega ti}|\Psi _{1}\rangle+be^{\omega ti}|\Psi _{2}\rangle]$

其中 $\omega =(E_{1}-E_{2})/2$ 。这个二能级系统表示一个量子比特 $|\Psi \rangle=\binom{a}{b}$ 。该而能级系统表示一个量子比特，能否变换呢，这个量子比特会依据哈密顿量 $H=\hbar \omega Z$ 随时间演化，对于V(x)，可以附加扰动项效应。这展示了如何用一个方势阱中的最低两个能级代表量子比特，以及如何用势场的简单扰动对量子比特进行控制。但是扰动也会带来高阶效应，且在真实的物理系统中，盒子并非无限深，其他的能级进来，而能级就逐渐失效。另外实际上控制系统也是另外一个量子系统，而要与我们实现量子计算的系统相互耦合。这些问题导致了退相干。

执行酉运算

封闭系统由哈密顿量决定其酉运算，但是为了完成运算，得能控制哈密顿量，用一组通用的酉运算实现任意的选择，通过合理的控制 $P_{x}$ 和 $P_{y}$ ，就能实现单自旋旋转。比如一个但自旋遵循哈密顿量 $H=P_{x}(t) X +P_{y}(t)Y$ 进行演化。

制备基本初态

通常只需能高保真制备一种特定的量子态，因为酉变换能把它变成任意的量子态。

测量输出结果

量子计算测量过程一个重要的特性是波函数塌缩，它描述实施投影测量时发生了什么。一个优秀的量子算法输出是一个叠加态，对它进行测量时，会有很高的概率给出有用的答案。比如shor量子因式分解算法中的一步是从测量结果中找到在整数r。测量结果是一个靠近qc/r的整数，其中q是希尔伯特空间的维度。输出态实际上处于c所有可能值的等权叠加态，但是一次次测量将此态塌缩到一个随机的整数，因而能确保以很高概率确定r。

当然其中会遇到很多困难：光子探测器的效率太低，以及放大器热噪声都能使得测量产生误差，不仅如此，投影测量（强测量）通常难以实施，因为量子与经典系统的耦合太大，而且可关闭。

强测量不是必需的;连续地实施且从不关闭耦合的弱测量也可用于量子计算。当计算时间比测量短，且使用大量量子计算机系综时，就可以实现这点。这些系综一起给出的整体信号是一个宏观可观测量，并反映了量子态。

附录

1.什么是横弛豫时间和纵弛豫时间？

在量子计算中，单量子比特的质量指标通常包括其相干时间（包括纵向弛豫时间T1和横向弛豫时间T2）、门操作的保真度、以及量子比特的连通性等。其中，相干时间是衡量量子比特质量的一个重要指标，它描述了量子比特在不受干扰的情况下保持其量子状态的时间长度。量子比特的寿命，即相干时间，越长，意味着量子比特可以支持更多的量子操作，从而有能力执行更复杂的计算任务。

此外，量子比特还存在横向弛豫，即相干时间T2，它描述了量子比特状态在Bloch球面上xy平面出现角度偏移的时间，这种偏移最终会使量子比特从相干态退化为混合态。T2的测试方法包括将量子比特初始化到|0>态，经过一次Hadamard门操作，等待一段时间t，再施加一次Hadamard门操作，测量量子比特处于|0>态的概率P(|0〉)，逐渐延长等待时间t，当P(|0〉)=1/e时，对应的等待时间t即为T2。

量子比特的门操作保真度也是一个重要的质量指标，它反映了量子比特执行计算操作的能力。量子比特门错误和量子比特门保真度是一对对应的概念，例如，1%的门错误率对应99%的门保真度，即每次对量子比特执行门操作时，成功率为99%。