3.23 子空间的运算

【推论1】$\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)=\dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2\iff {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2=\text{0}$

3.24 子空间的直和

【定理3】设${\text{V}}_1,{\text{V}}_2$都是$\text{V}$的子空间，如果${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$中每一个向量$\mathbf{\alpha }$表示成$\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$的表示法唯一，那么称和${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$为直和。
设${\text{V}}_1,{\text{V}}_2$都是$\text{V}$的子空间，则：
（1）${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是直和；
（2）${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$中$0$的表法唯一（即若$0={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$，又由于$0=0+0$，则${\mathbf{\alpha }}_1=0,{\mathbf{\alpha }}_2=0$；
（3）${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2=\text{0}$
（4）${\text{V}}_1$的一个基${\text{S}}_1$，${\text{V}}_2$的一个基${\text{S}}_2$，${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$是${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$的一个基。
这4个命题是等价的。

【证】（1）推出（2）显然，（2）推出（3），任取$\mathbf{\alpha }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$，则${\mathbf{\alpha }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$，$\text{0}=\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })$
由（2）得$\mathbf{\alpha }=0$
（3）推出（1），任取$\mathbf{\alpha }\in {\text{V}}_1+{\text{V}}_2$，$\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2$（如果它有两种表示，反证法）
${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\beta }}_2-{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\beta }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\beta }}_2-{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$，则${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\beta }}_2-{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_1+{\text{V}}_2$
从而${\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\beta }}_2$，因此${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是直和
（2）推出（4）任取${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$的一个有限子集：${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_t,{\mathbf{\delta }}_1,...,{\mathbf{\delta }}_r$，其中${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_t\in {\text{S}}_1,{\mathbf{\delta }}_1,...,{\mathbf{\delta }}_r\in {\text{S}}_2$
设$(k_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+k_t{\mathbf{\gamma }}_t)+(l_1{\mathbf{\delta }}_1+...+l_r{\mathbf{\delta }}_r)=0$
由于${\text{S}}_1$是${\text{V}}_1$的一个基
所以$k_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+k_t{\mathbf{\gamma }}_t$是${\text{V}}_1$的一个子空间
同理$l_1{\mathbf{\delta }}_1+...+l_r{\mathbf{\delta }}_r$是${\text{V}}_2$的一个子空间
由（2）可知（零向量表法唯一）,$k_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+k_t{\mathbf{\gamma }}_t=0,l_1{\mathbf{\delta }}_1+...+l_r{\mathbf{\delta }}_r=0$
由于${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_t$线性无关，所以$k_1=...=k_t=0$
同理$l_1=...=l_r=0$
因此 { γ 1 , . . . , γ t , δ 1 , . . . , δ t } \{\boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma_t,\boldsymbol\delta_1,...,\boldsymbol\delta_t\} {γ1​,...,γt​,δ1​,...,δt​}线性无关
从而${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$线性无关。
任取${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$中一个向量$\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$
由于${\text{S}}_1$是${\text{V}}_1$的一个基，因此${\mathbf{\alpha }}_1$可以由${\text{S}}_1$中有限个向量线性表出，同理，${\mathbf{\alpha }}_2$可以由${\text{S}}_2$中有限个向量线性表出，于是$\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$可由${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$中有限多个向量线性表出
因此${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$是${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$的一个基。
（4）推出（2），设$0={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_2$
由于${\text{S}}_1$是${\text{V}}_1$的一个基，因此${\mathbf{\alpha }}_1=a_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+a_m{\mathbf{\gamma }}_m$，其中${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_m\in {\text{S}}_1$
同理${\mathbf{\alpha }}_2=b_1{\mathbf{\delta }}_1+...+b_m{\mathbf{\delta }}_m$，其中${\mathbf{\delta }}_1,...,{\mathbf{\delta }}_t\in {\text{S}}_2$
从而$0=(a_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+a_m{\mathbf{\gamma }}_m)+(b_1{\mathbf{\delta }}_1+...+b_m{\mathbf{\delta }}_m)$，由于${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_m,{\mathbf{\delta }}_1,...,{\mathbf{\delta }}_t\in {\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$
因此根据（4）是${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$的一个基
线性无关的集合的任意一个有限子集都是线性无关的
从而${\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_m,{\mathbf{\delta }}_1,...,{\mathbf{\delta }}_t\in {\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2$线性无关
从而$a_1=...=a_m=b_1=...=b_t=0$，于是${\mathbf{\alpha }}_1=0$且${\mathbf{\alpha }}_2=0$
因此${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$中零向量的表法唯一。

【定理4】设${\text{V}}_1,{\text{V}}_2$都是$\text{V}$的有限维的子空间，则${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是直和$\iff \dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2=\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)$

【证】${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是直和（定理3）$\iff {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$是零子空间（推论1）$\iff \dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2=\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)$

【定义2】若$\text{V}={\text{V}}_1\oplus {\text{V}}_2$（$\text{V}$里面的每一个向量都可以表示成${\text{V}}_1$的一个向量加${\text{V}}_2$的一个向量，$\text{V}={\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是直和），称${\text{V}}_2$是${\text{V}}_1$的一个补空间，也称${\text{V}}_1$是${\text{V}}_2$的一个补空间。（类比补集的概念）
【命题2】设$\dim \text{U}=n$（有限维），则$\text{V}$的每一个子空间$\text{U}$都在$\text{V}$中有一个补空间。

【证】在$\text{U}$中取一个基${\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m$，把它扩充成$\text{V}$的一个基${\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n-m}$
从而$\text{V}=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n-m}>=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m>+<{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n-m}>=\text{U}+\text{W},\text{W}=<{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n-m}>$
（上节课命题1）
则${\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n-m}$是$\text{W}$的一个基
根据定理3中（4）和（1）等价，$\text{U}+\text{W}$是直和，因此$\text{V}=\text{U}\oplus \text{W}$
因此$\text{W}$是$\text{U}$的一个补空间
证毕

【注】$\text{U}$的补空间不唯一。

【定义3】设${\text{V}}_1,...,{\text{V}}_m$都是$\text{V}$的子空间，若${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$每一个向量$\mathbf{\alpha }$表示成$\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+...+{\mathbf{\alpha }}_m$，其中${\mathbf{\alpha }}_i\in {\text{V}}_i,i=1,2,...,m$的表法唯一，那么称${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$是直和，记作$\underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}={\text{V}}_1\oplus ...\oplus {\text{V}}_m$.
【定理5】设${\text{V}}_1,...,{\text{V}}_m$都是$\text{V}$的子空间，则下列命题等价：
（1）${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$是直和；
（2）${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$中零向量表法唯一；
（3）${\text{V}}_i\cap (\sum _{j\ne i}{\text{V}}_j)=0,i=1,2,...,m$；
（4）设${\text{V}}_i$的一个基为${\text{S}}_i,i=1,2,..,m$，则${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2\cup ...\cup {\text{S}}_m$是${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$的一个基。
【定理6】设${\text{V}}_1,...,{\text{V}}_m$都是$\text{V}$的有限维的子空间，则${\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m$是直和$\iff \dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m)=\dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2+...+\dim {\text{V}}_m$

【证】先证必要性，设${\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m$是直和，根据定理5，${\text{V}}_i\cap (\sum _{j\ne i}{\text{V}}_j)=0,i=1,2,...,m$
${\text{V}}_1$与${\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m$的交是零子空间
同理${\text{V}}_2\cap (\sum _{j=3}^m{\text{V}}_j)\subseteq {\text{V}}_2\cap (\sum _{j\ne 2}{\text{V}}_j)=0$
从而$\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m)=\dim ({\text{V}}_1+({\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m))=\dim {\text{V}}_1+\dim ({\text{V}}_2+({\text{V}}_3+...+{\text{V}}_m))=\dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2+\dim ({\text{V}}_3+...+{\text{V}}_m)=...=\dim {\text{V}}_1+\dim {\text{V}}_2+...+\dim {\text{V}}_m$
再证充分性，${\text{V}}_i$中取一个基${\mathbf{\alpha }}_{i1},...{\mathbf{\alpha }}_{i{r}_i},i=1,2,...,m$
${\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m=<{\mathbf{\alpha }}_{11},...{\mathbf{\alpha }}_{r_1}>+...+<{\mathbf{\alpha }}_{m1},...{\mathbf{\alpha }}_{m{r}_m}>=<{\mathbf{\alpha }}_{11},...{\mathbf{\alpha }}_{r_1},...,{\mathbf{\alpha }}_{m1},...{\mathbf{\alpha }}_{m{r}_m}>$
由已知条件$\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m)=r_1+...+r_m$
因此${\mathbf{\alpha }}_{11},...{\mathbf{\alpha }}_{‘r_1},...,{\mathbf{\alpha }}_{m1},...{\mathbf{\alpha }}_{m{r}_m}$是${\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m$的一个基（每一个向量都可以由$n$个向量线性表出，相当于满秩）
根据定理5，${\text{S}}_1\cup {\text{S}}_2\cup ...\cup {\text{S}}_m$是${\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$的一个基，得到${\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_m$是直和。

若$\text{V}={\text{V}}_1\oplus {\text{V}}_2\oplus ...\oplus {\text{V}}_m$
则${\text{V}}_i$的一个基$(i=1,...,m)$合起来应该是$\text{V}={\text{V}}_1+...+{\text{V}}_m$的一个基。（线性空间分解成有限多个子空间的直和）