信号与系统第七章（z变换）

一、z变换

1、z变换公式

（1）一个单位冲激响应为 $h[n]$ 的线性时不变系统，对 $z^{n}$ 复数输入信号的响应 $y[n]$ 为 $y[n]=H(z)z^{n}$ ，其中 $H(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }h[n]z^{-n}$ ，若 $z=e^{j\omega }$ （ $\omega$ 为实数， $\left | z \right |=1$ ，在z平面上 $z=e^{j\omega }$ 称为单位圆），则 $H(z)$ 对应于 $h[n]$ 的傅里叶变换，对一般的复变量z来说， $H(z)$ 称为单位冲激响应 $h[n]$ 的z变换。

（2）一个信号 $x[n]$ 的z变换定义为 $X(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$ ，常把 $x[n]$ 和 $X(z)$ 的变换关系记为

（3）可将复变量z表示成极坐标形式 $z=re^{j\omega }$ ， $r$ 示z的模， $\omega$ 表示z的相角，如此则有

（4） $x[n]$ 的z变换可以看成是 $x[n]$ 乘以一个实指数信号以后的傅里叶变换，即

2、收敛域ROC和零-极点图

（1）z变换与傅里叶变换一样存在收敛问题，并非任何信号的z变换都存在，也不是z平面上的任何复数都能使z变换收敛。

（2）在给出一个信号的z变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量z值的范围都应该给出。

（3）一般称使求和式 $X(z)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$ 收敛的z值的范围为z变换的收敛域，简记为ROC。

（4）如果一个信号的z变换的ROC包含单位圆，则信号的傅里叶变换也存在。

（5）对于有理z变换来说，在分子多项式的那些根上有 $X(z)=0$ ，故称分子多项式的根为 $X(z)$ 的零点；在分母多项式的那些根上有 $X(z)$ 变成无界，故称分母多项式的根为 $X(z)$ 的极点。（如果某个零点和某个极点相同，可以相互抵消）

（6）通过z平面内的极点（用“×表示”）和零点（用“○”表示）的 $X(z)$ 的表示就称为 $X(z)$

的零-极点图。

3、举例

（1）例1：

（2）例2：

（3）例3：

（4）例4：

二、z变换的收敛域

1、性质

（1） $X(z)$ 的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

（2）收敛域内不包含任何极点。

（3）如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infty$ 。

（4）如果 $x[n]$ 是一个右边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么 $\left | z \right |>r_{0}$ 的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

（5）如果 $x[n]$ 是一个左边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么 $0<\left | z \right |<r_{0}$ 的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

（6）如果 $x[n]$ 是一个双边序列，并且 $\left | z \right |=r_{0}$ 的圆位于收敛域内，那么在该收敛域中一定是包含 $\left | z \right |=r_{0}$ 这一圆环的环状区域。

（7）如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，它的收敛域就被极点所界定，或延伸至无限远。

（8）如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，并且 $x[n]$ 是一个右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层的极点的外边，也就是半径等于 $X(z)$ 极点中最大模值的圆的外边。若 $x[n]$ 是因果序列，即 $x[n]$ 为 $n<0$ 时等于零的右边序列，那么收敛域也包括 $z=\infty$ 。

（9）如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，并且 $x[n]$ 是一个左边序列，那么收敛域就位于z平面内最里层的非零极点的里边，也就是半径等于 $X(z)$ 中除去 $z=0$ 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 $z=0$ 。若 $x[n]$ 是反因果序列，即 $x[n]$ 为 $n>0$ 时等于零的左边序列，那么收敛域也包括 $z=0$ 。