算法分析——《二分查找》

🛩leetcode.cn/problems/binary-search/" rel="nofollow">《二分查找》

🎨题目描述：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid] > target) right = mid - 1;else if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else return mid;}return -1;}
};

🧠代码解析：

这是一道特别经典的二分题，在这里具体的实现我不去做过多的赘述。我只想在这里补充几个点，一个是关于时间复杂度的以及为什么二分查找算法这么高效？还有就是来聊聊后续我们遇到的二分查找的题目，还有针对于二分查找算法解题的模版。

关于时间复杂度

如果我们按照暴力的思路来解决这道题目，暴力思路的时间复杂度当然是O(N)级别的，虽然这个看上去确实是比我们前面学习的那些题目的暴力解法的O(N^2)好很多，但是这个真的很慢。
那么针对于这道题的时间复杂度呢，我们可以来看看：

所以这也就是为什么最后时间复杂度为O(logN)。

这个时间复杂度可是很恐怖的，假设现在有2^32次方的数据，差不多是吧，那你如果整个O(N)遍历的话起码得遍历4* 10^9次，但如果是O(logN)的时间复杂度，就可以做到32次就解决。
聊聊模版

对于这种最基础的二分提醒，这个模版是最简单的，当然适用程度也较小。模版如下：
```
while(left <= right)
{if...else if...else...
}
return ...
```

🛩leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/" rel="nofollow">《在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置》

🎨题目描述：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.size() == 0) return {-1, -1}; // 判断空数组的情况int begin = 0;// 查找左端点int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}if(nums[left] != target) return {-1, -1};else begin = left;// 查找右端点left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(nums[mid] <= target) left = mid;else right = mid - 1;}return {begin, right};}
};

🧠代码解析：

这种题目也是一道经典的二分题，只不过不同于上一道题的求中点，而是转换成了求区间罢了。当然就算题目再怎么不一样，该满足有序的条件还得满足，下面我们就来分析分析这道题。

既然要求一个区间，那必然要求左端点和右端点，我们先抽象一个数组来看看：

最终结果我们应当找到这种情况，left指向左端点而right指向右端点，那么又该如何找到这两个端点呢？

🥼查找左端点：

由图我们很容易就可以知道左端点是红色框框这个位置。

**那么根据有序数组的二分性，在查找的过程中对于红色框框前面全部元素都可以省略掉，而右边的框框是包含左端点的。**这是我们需要记住的特性！

此时查找左端点的思路就出来了！还是和经典二分查找一样，通过比较中间值来找到左端点的位置，不同的是判断的条件，因为左端点前面的值是我们要排除的，所以如果我们在判断mid的时候，发现nums[mid] == 7如图所示：

所以if(nums[mid] < target) left = mid + 1。

而针对于right，因为right就已经包含了左端点，因此不需要进行其它操作直接让right = mid即可。

🧥查找右端点：

同理，根据有序数组的二分性，可以根据上述的图，画出下面：

既然和上面一样，红色框框作为右端点需要我们去找到，由图可知，红色框框后面的所有元素都是我们不要的可以省略的，那情况又出现了！

因此if(nums[mid] > target) right = mid - 1。

而针对于left，因为left就已经包含了右端点端点，因此不需要进行其它操作直接让left = mid即可

🎁针对端点的总结：

那么现在我们就有了一个初步的模版：

当然了你可以将这两张图进行交换的，并没有那么严格的规定说每个端点一定要满足那张图！

🎭细节处理：

如果我们直接拿这两个条件进行判断，那我们大概率会出现死循环！因为存在两处细节问题需要我们去解决！

细节一：while循环的判断条件

对于第一道题目，我们是要让left <= right，这一点很好理解，因为如果在上一道题里，数组中只有一个元素，target正好等于该元素，如果你写成while循环里写成left < right，那么你绝对不会进入while循环从而返回了-1！

但是针对于这道题，在寻找左右端点时但凡让while循环里出现了left <= right，那么非常好，直接会出现死循环，具体的原因如下图：

所以你的while循环一定写的是right < left！
细节二：关于偶数位和奇数位

这个细节问题是基于求mid的情况，我们在上一道题当中，求mid是采用了:left + (right - left) / 2其实你使用(right + left) / 2具体为什么采用前者，主要原因是防止整形溢出！！

但现在，其实我们也可以使用left + (right - left + 1) / 2，为什么要+1呢？其实我们只是想得到下一个位置罢了，下图我们来解释解释：

那这又和我的左右端点有关系吗？但是是真的有关！下面来举例子来说明：

以上错误情况，来看看看正确情况：

所以对于查找右节点，在求mid的情况我们需要使用mid = left + (right + left + 1) / 2
同理，对于查找左节点，在求mid的情况我们需要使用mid = left + (right + left) / 2

至此细节问题处理完毕，我们现在就得出了一个经典的二分模版，适用于多道题目：
```
// 查找左端点
while(left < right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if(...) left = mid + 1;else right = mid;
}// 查找右端点
while(left < right)
{int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(...) left = mid;else right = mid - 1;
}
```

🛩leetcode.cn/problems/sqrtx/" rel="nofollow">《x 的平方根》

🎨题目描述：

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去。

**注意：**不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int mySqrt(int x) {if(x < 1) return 0; // 处理边界情况int left = 1, right = x;while(left < right){long long mid = left + (right - left + 1) / 2;if(mid * mid <= x) left = mid;else right = mid - 1;}return right;}
};

🧠代码解析：

结合上道题目所介绍的模版，首先我们需要确定这道题目的数组是否是有序的，其次是否具有二分性质。
举个例子：

既然我们的要找到某个数字的平方和要等于17，但是是在整数里找到并且返回它的整数。我们不难发现，4的平方等于16,而5的平方等于25，因此最后的目标值肯定是在4和5之间的某个数，所以最后返回一定是返回4，这就确定了二分性

而我们发现4这个正好处于右端点，所以按照模版求右端点就可以了！

while(left < right)
{int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(...) left = mid;else right = mid - 1;
}

🛩leetcode.cn/problems/search-insert-position/" rel="nofollow">《搜索插入位置》

🎨题目描述：

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}if(nums[left] < target) return left + 1; // 处理位于最后一个元素位置return left;}
};

🧠代码解析：

还是一样的，首先我们需要确定这道题目的数组是否是有序的，其次是否具有二分性质。
举个例子：

只从这一个例子我们还是很难看出来是什么端点的，但是我们能清楚的得知数组是有序的也具有二分性。

而对于这个例子，最后的结果是处于3上的，也正好利用了二分性，找到第一个（最左边的）大于或等于 target 的数的下标

所以我们求得就是左端点，因此就需要使用求左端点的模版：

while(left < right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if(...) left = mid + 1;else right = mid;
}

🛩leetcode.cn/problems/peak-index-in-a-mountain-array/" rel="nofollow">《山脉数组的峰顶索引》

🎨题目描述：

给定一个长度为 n 的整数山脉数组 arr ，其中的值递增到一个 峰值元素 然后递减。

返回峰值元素的下标。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1：

输入：arr = [0,1,0]
输出：1

示例 2：

输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1

示例 3：

输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left = 0, right = arr.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;else right = mid - 1;}return right;}
};

🧠代码解析：

刚拿到这道题我会有疑惑，因为这也不是有序的呀！这怎么能用二分呢？但其实真的没所谓，最重要的是我们需要找到数组具有二分性。

而黑色圈圈所属的关系为arr[mid] > arr[mid - 1]
而红色圈圈所属的关系为arr[mid] < arr[mid + 1]

所以无论你以哪个模版来找峰值，都是可以的！下一道题目我将注重说明怎么找模版。

🛩leetcode.cn/problems/find-peak-element/" rel="nofollow">《寻找峰值》

🎨题目描述：

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5 
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(nums[mid] > nums[mid - 1]) left = mid;else right = mid - 1;}return left;}
};

🧠代码解析：

这道题目其实和上一道题目较为相似，但其实我们会发现随着题目越做越多，我们在使用二分查找算法的时候并不会再去考虑数组是不是有序的了！而更准确来说，我们需要考虑数组的二分性。

题目已经告诉我们了，nums[-1] = nums[n] = -∞，意思就是可能你第一个元素就是峰值。最后一个元素也可能是峰值，我们可以抽象为下图的两种情况：

假设我们的在使用二分查找中间点mid的时候，若mid落在情况一时：

而情况二呢？

对此我们就可以总结出以下：

若是
nums[mid] < nums[mid - 1] left = mid;
nums[mid] > nums[mid - 1] right = mid - 1;

那么通过模版我们就可以解决此题目了，先别着急走，我们还有一个问题想来聊聊

🚀左端点还是右端点？

在前面我们介绍关于左端点和右端点的模版后，做的这些题目相信大家很容易就不明白为什么这里要用左端点或者是右端点，而我呢也并没有很清楚细致的进行讲解，这是因为我想把它放在此刻来讲解，这样理解起来会更容易。

就拿上一道题《山脉数组的封顶索引》来说，那道题我是按照求右端点的模版来实现算法的，但其实以左端点的思路来看也是可以实现的！只是在if判断里条件不一样罢了！

正是如此，所以峰值点就是新的区间的左闭区间，既然是左闭区间，那么就代表着它是左端点。

那么既然这样，对于《寻找峰值》这道题，不管有多少种情况，你只要记住参考点的不同，你就可以写出两种端点的方式！

🛩leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/" rel="nofollow">《寻找旋转排序数组中的最小值》

🎨题目描述：

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] > nums[nums.size() - 1]) left = mid + 1;else right = mid;}return nums[left];}
};

🧠代码解析：

这道题目最核心的条件，就是告诉你**无重复的元素！**为什么说这句话是核心呢？如果你一上来就对比之前学习过的关于峰值题，然后尝试去解决，你会发现报错原因基本都是找不到最小的那个元素！要么是次小的，要么就是指向最大的元素。

造成这种情况的主要原因是我们没有理解题目给的条件**“无重复的元素”**，正式因为无重复元素，而且还是对一个升序数组进行旋转，那么总结就只有这两种情况：

我们先说左边的情况，
我们很自然的将一个数组分出了这两种情况，也可以说分成了两个象限，不难看出第二象限的所有点都会大于第四象限的n点，这个n点就是数组的最后一个元素，而在第四象限中，所有点都小于等于n点。

所以我们找出来了数组的二分性，这就方便我们使用二分算法了！我们再来看看这个最小值的点是左端点还是右端点？

同理另外一种情况也是如此！所以直接利用求左端点的模版来编写代码即可。

if(nums[mid] > nums[n]) left = mid + 1; if(nums[mid] <= nums[n]) right = mid;

🎂补充：

在上面的那种思路中，我们是凭借最后一个元素作为参考点的，从而找到了二分性，那我们能不能使用第一个元素呢？即下标为0的元素。
答案是可以的，我们下面来再分析分析：

既然是以第一个元素为参考点，那么第二象限的所有点都大于等于第一个元素，则第四象限的所有元素都小于第一个元素。然后再结合左端点和右端点的判断，发现这个还是左端点，然后就可以直接开始写代码了！

if(nums[mid] >= nums[0]) left = mid + 1;
if(nums[mid] < nums[0]) right = mid;

但是！不要忘记了我们还有一种情况：

补充代码如下：

class Solution 
{
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] >= nums[0]) left = mid + 1;else right = mid;}if(nums[left] >nums[0]) return nums[0];return nums[left];}
};

🛩leetcode.cn/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/" rel="nofollow">《点名》

🎨题目描述：

某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。

示例 1:

输入: records = [0,1,2,3,5]
输出: 4

示例 2:

输入: records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出: 7

🚲代码实现：

class Solution 
{
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left = 0, right = records.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(records[mid] == mid) left = mid + 1;else right = mid;}if(records[left] == left) return left + 1;return left;}
};

🧠代码解析：

其实这道题目有特别多的解法，例如哈希、暴力枚举、位运算（异或）、数学（等差求和）
但是上述这些的时间复杂度都是O(N)级别的，效率还是低一些，而这道题目也很容易就可以发现二分性，因此就可以直接使用二分算法，这样时间复杂度也就是O(logN)级别的，效率也高一些！

我们先以二分算法来讲讲：
其实要想找出来缺失的数，我们只需要对比它的值和下标是否一致，如果不一致那么直接返回下标即可。

没错思路就是这么简单，通过下标也很容易找到二分性！

好！非常好！然后我们快速的编写代码…

if(nums[mid] == mid) left = mid + 1;
if(nums[mid] != mid) right = mid;

这时候我们还是会出现报错，原因就是我们没考虑到一种情况：

乍一看好像没有缺失数字，但是其实再仔细读读题就会发现它其实缺少数字3，所以当我们使用上面的二分来编写代码时，我们最终是会找到下标2的位置，即最后一个位置，所以我们只需要判断一下是不是最后一个位置的值等于对应的下标。如果等于直接返回下一个，也可以返回数组总长度！

🐱‍🏍补充：

🎄哈希：

class Solution 
{
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {// 哈希int hash[10001] = {0};for(auto& n : records) hash[n]++;for(int i = 0; i <= records.size(); ++i) if(hash[i] == 0) return i;return -1;}
};

🎫暴力枚举：

class Solution 
{
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {// 暴力遍历for(int i = 0; i < records.size(); ++i) if(records[i] != i) return i;return records.size();}
};

🧧位运算（异或）：

class Solution 
{
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {// 位运算（异或）int ans = 0, i = 0;for(i = 0; i < records.size(); ++i){ans ^= (records[i] ^ i); }ans ^= i;return ans;}
};

🎩数学（等差求和）：

class Solution 
{
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {// 数学，等差求和int correct = ((0 + records.size()) * (records.size() + 1)) / 2;int temp = 0;for(int i = 0; i < records.size(); ++i) temp += records[i];return correct - temp;}
};