题目来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
书中习题1.2
5.求下列两个微分方程的公共解
y ′ = y 2 + 2 x − x 4 , y ′ = 2 x + x 2 + x 4 − y − y 2 y'=y^2+2x-x^4,y'=2x+x^2+x^4-y-y^2 y′=y2+2x−x4,y′=2x+x2+x4−y−y2
两方程的公共解满足
y 2 + 2 x − x 4 = 2 x + x 2 + x 4 − y − y 2 y^2+2x-x^4=2x+x^2+x^4-y-y^2 y2+2x−x4=2x+x2+x4−y−y2
化简
x 2 + 2 x 4 − y − 2 y 2 = 0 x 2 ( 1 + 2 x 2 ) − y ( 1 + 2 y ) = 0 x 2 ( 1 + 2 x 2 + 2 y ) − y ( 1 + 2 y + 2 x 2 ) = 0 ( x 2 − y ) ( 1 + 2 y + 2 x 2 ) = 0 \begin{align*} x^2+2x^4-y-2y^2&=0\\ x^2(1+2x^2)-y(1+2y)&=0\\ x^2(1+2x^2+2y)-y(1+2y+2x^2)&=0\\ (x^2-y)(1+2y+2x^2)&=0\\ \end{align*} x2+2x4−y−2y2x2(1+2x2)−y(1+2y)x2(1+2x2+2y)−y(1+2y+2x2)(x2−y)(1+2y+2x2)=0=0=0=0
得到两个可能的解
y = x 2 , y = − 1 2 − x 2 y=x^2,y=-\frac{1}{2}-x^2 y=x2,y=−21−x2
带回原微分方程验证，得公共解为 y = x 2 y=x^2 y=x2
6.求微分方程 y ′ + x y ′ 2 − y = 0 y'+xy'^2-y=0 y′+xy′2−y=0 的直线积分曲线
设直线积分曲线方程为
y = k x + b y=kx+b y=kx+b
则 y ′ = k y'=k y′=k ，代入微分方程，得
k + x k 2 − k x − b = 0 x ( k 2 − k ) + ( k − b ) = 0 \begin{align*} k+xk^2-kx-b&=0\\ x(k^2-k)+(k-b)&=0 \end{align*} k+xk2−kx−bx(k2−k)+(k−b)=0=0
所以
k = b , k 2 = k k=b,k^2=k k=b,k2=k
因此，有两条积分曲线 y = 0 y=0 y=0 和 y = x + 1 y=x+1 y=x+1
7.证明与微分方程 4 x 2 y ′ 2 − y 2 = x y 3 4x^2y'^2-y^2=xy^3 4x2y′2−y2=xy3 的积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线
设微分方程的积分曲线为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) ，则
4 x 2 f ′ 2 ( x ) − f 2 ( x ) = x f 3 ( x ) (1) 4x^2f'^2(x)-f^2(x)=xf^3(x)\tag{1} 4x2f′2(x)−f2(x)=xf3(x)(1)
设与 f ( x ) f(x) f(x) 成中心对称的曲线为 y = g ( x ) y=g(x) y=g(x) ，则
f ( − x ) = − g ( x ) , f ′ ( − x ) = g ′ ( x ) f(-x)=-g(x),f'(-x)=g'(x) f(−x)=−g(x),f′(−x)=g′(x)
在 ( 1 ) (1) (1) 中用 − x -x −x 代替 x x x 得
4 ( − x ) 2 f ′ 2 ( − x ) − f 2 ( − x ) = − x f 3 ( − x ) 4 x 2 [ f ′ ( − x ) ] 2 − [ − f ( − x ) ] 2 = x [ − f ( − x ) ] 3 4 x 2 g ′ 2 ( x ) − g 2 ( x ) = x g 3 ( x ) \begin{align*} 4(-x)^2f'^2(-x)-f^2(-x)&=-xf^3(-x)\\ 4x^2[f'(-x)]^2-[-f(-x)]^2&=x[-f(-x)]^3\\ 4x^2g'^2(x)-g^2(x)&=xg^3(x) \end{align*} 4(−x)2f′2(−x)−f2(−x)4x2[f′(−x)]2−[−f(−x)]24x2g′2(x)−g2(x)=−xf3(−x)=x[−f(−x)]3=xg3(x)
所以 g ( x ) g(x) g(x) 也是微分方程的积分曲线
