3. 函数极限与连续函数
3.2 连续函数
3.2.9 反函数的连续性定理
【定理3.2.2】【反函数连续性定理】设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续且严格单调增加,设 f ( a ) = α , f ( b ) = β f(a)=\alpha,f(b)=\beta f(a)=α,f(b)=β,则反函数 f − 1 ( y ) f^{-1}(y) f−1(y)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续。
【证】先证 f f f的值域是 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β],
∀ γ ∈ ( α , β ) \forall \gamma\in(\alpha,\beta) ∀γ∈(α,β),集合 S = { x ∣ x ∈ [ a , b ] , f ( x ) < γ } \textbf{S}=\{x|x\in[a,b],f(x)<\gamma\} S={x∣x∈[a,b],f(x)<γ},则令 S \textbf{S} S的上确界为 x 0 x_{0} x0,当 x < x 0 , f ( x ) < γ x<x_{0},f(x)<\gamma x<x0,f(x)<γ(单调增加),当 x > x 0 , f ( x ) > γ x>x_{0},f(x)>\gamma x>x0,f(x)>γ
令 lim x → x 0 − f ( x ) ≤ γ \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\le\gamma x→x0−limf(x)≤γ(单调函数的单侧极限一定存在)
lim x → x 0 + f ( x ) ≥ γ \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\ge\gamma x→x0+limf(x)≥γ
由于 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0点连续,所以 lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)=f(x0)
所以 γ = f ( x 0 ) ∈ ( α , β ) \gamma=f(x_{0})\in(\alpha,\beta) γ=f(x0)∈(α,β)
即 ∀ x ∈ ( a , b ) : f ( x ) ∈ ( α , β ) \forall x\in(a,b):f(x)\in(\alpha,\beta) ∀x∈(a,b):f(x)∈(α,β)
又 f ( a ) = α , f ( b ) = β f(a)=\alpha,f(b)=\beta f(a)=α,f(b)=β,所以 f ( x ) f(x) f(x)的值域是 [ a , b ] [a,b] [a,b]
∀ y 0 ∈ ( α , β ) \forall y_{0}\in(\alpha,\beta) ∀y0∈(α,β),要证 f − 1 f^{-1} f−1在 y 0 y_{0} y0连续
对 y = α y=\alpha y=α,证 f − 1 f^{-1} f−1在 α \alpha α右连续
对 y = β y=\beta y=β,证 f − 1 f^{-1} f−1在 β \beta β左连续
设 f ( x 0 ) = y 0 , ( f − 1 ( y 0 ) = x 0 ) f(x_{0})=y_{0},(f^{-1}(y_{0})=x_{0}) f(x0)=y0,(f−1(y0)=x0)
∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0,找 δ > 0 , ∀ y ( ∣ y − y 0 ∣ < δ ) : ∣ f − 1 ( y ) − f − 1 ( y 0 ) ∣ ⇔ ∣ x − x 0 ∣ < ε \delta>0,\forall y(|y-y_{0}|<\delta):|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})|\Leftrightarrow |x-x_{0}|<\varepsilon δ>0,∀y(∣y−y0∣<δ):∣f−1(y)−f−1(y0)∣⇔∣x−x0∣<ε,取 δ = min { y 0 − y 1 , y 2 − y 0 } \delta=\min\{y_{0}-y_{1},y_{2}-y_{0}\} δ=min{y0−y1,y2−y0},当 ∣ y − y 0 ∣ < δ |y-y_{0}|<\delta ∣y−y0∣<δ时,有 ∣ x − x 0 ∣ < ε |x-x_{0}|<\varepsilon ∣x−x0∣<ε,所以区间连续
对于左侧端点,找 δ 1 > 0 , ∀ y ( ∣ y − f ( a ) ∣ = ∣ y − α ∣ < δ 1 ) : ∣ f − 1 ( y ) − f − 1 ( α ) ∣ = ∣ f − 1 ( y ) − a ∣ ⇔ ∣ x − a ∣ < ε \delta_{1}>0,\forall y(|y-f(a)|=|y-\alpha|<\delta_{1}):|f^{-1}(y)-f^{-1}(\alpha)|=|f^{-1}(y)-a|\Leftrightarrow|x-a|<\varepsilon δ1>0,∀y(∣y−f(a)∣=∣y−α∣<δ1):∣f−1(y)−f−1(α)∣=∣f−1(y)−a∣⇔∣x−a∣<ε,取 δ 1 = min { f ( a + ε ) − f ( a ) } \delta_{1}=\min\{f(a+\varepsilon)-f(a)\} δ1=min{f(a+ε)−f(a)},当 ∣ y − α ∣ < δ |y-\alpha|<\delta ∣y−α∣<δ时,有 ∣ x − a ∣ < ε |x-a|<\varepsilon ∣x−a∣<ε,所以左端点连续
同理右端点连续。(后边证明端点连续是自己想的,欢迎数院大神批评指正)
【例】 y = sin x , x ∈ [ − π 2 , π 2 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] y=\sin x,x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],y\in[-1,1] y=sinx,x∈[−2π,2π],y∈[−1,1],反函数为 y = arcsin x , D = [ − 1 , 1 ] , R = [ − π 2 , π 2 ] y=\arcsin x,\textbf{D}=[-1,1],\textbf{R}=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] y=arcsinx,D=[−1,1],R=[−2π,2π],所以 y = arcsin x y=\arcsin x y=arcsinx在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]不仅连续,且严格单调增加。
【例3.2.9】 y = cos x y=\cos x y=cosx,它的反函数是 y = arccos x y=\arccos x y=arccosx, D = [ − 1 , 1 ] , R = [ 0 , π ] \textbf{D}=[-1,1],\textbf{R}=[0,\pi] D=[−1,1],R=[0,π]
y = tan x y=\tan x y=tanx,它的反函数是 y = arctan x , D = ( − ∞ , + ∞ ) , R = ( − π 2 , π 2 ) y=\arctan x,\textbf{D}=(-\infty,+\infty),\textbf{R}=(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) y=arctanx,D=(−∞,+∞),R=(−2π,2π)
【例3.2.10】 y = a x , ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^{x},(a>0,a\ne 1) y=ax,(a>0,a=1),它的反函数是 y = log a x , D = ( 0 , + ∞ ) , R = ( − ∞ , + ∞ ) y=\log_{a} x,\textbf{D}=(0,+\infty),\textbf{R}=(-\infty,+\infty) y=logax,D=(0,+∞),R=(−∞,+∞)
【注】三角函数,反三角函数,指数函数,对数函数, y = x n , n ∈ Z , y = x α = e ln x α = e α ln x y=x^{n},n\in\mathbb{Z},y=x^{\alpha}=e^{\ln x^{\alpha}}=e^{\alpha\ln x} y=xn,n∈Z,y=xα=elnxα=eαlnx等……的复合函数都是在其定义域上连续
3.2.10 复合函数的连续性
问题: lim u → u 0 f ( x ) = A , lim x → x 0 g ( x ) = u 0 \lim\limits_{u\to u_{0}}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=u_{0} u→u0limf(x)=A,x→x0limg(x)=u0,问 lim x → x 0 f ∘ g ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_{0}}f\circ g(x)=A x→x0limf∘g(x)=A是否成立,实际上是错误的,反例: f ( u ) = { 0 , u = 0 1 u ≠ 0 , g ( x ) = x sin 1 x f(u)=\left\{\begin{matrix} 0&,u=0 \\ 1&u\ne 0 \end{matrix}\right.,g(x)=x\sin \frac{1}{x} f(u)={01,u=0u=0,g(x)=xsinx1
lim x → 0 g ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to 0}g(x)=0 x→0limg(x)=0, f ∘ g ( x ) = { 0 , x = 1 n π 1 x ≠ 1 n π f\circ g(x)=\left\{\begin{matrix} 0&,x=\frac{1}{n\pi} \\ 1&x\ne\frac{1}{n\pi} \end{matrix}\right. f∘g(x)={01,x=nπ1x=nπ1
令 x → 0 x\to 0 x→0,取 x n ′ = 1 n π ≠ 0 x_{n}'=\frac{1}{n\pi}\ne 0 xn′=nπ1=0,但 lim n → ∞ x n ′ = 0 \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}'=0 n→∞limxn′=0,则 lim n → ∞ f ∘ g ( x n ′ ) ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}f\circ g(x_{n}'))=0 n→∞limf∘g(xn′))=0,取 x n ′ ′ = 1 n π , x n ′ ′ ≠ 0 , x n ′ ′ → 0 , lim n → ∞ f ∘ g ( x n ′ ′ ) = 1 x_{n}''=\frac{1}{n\pi},x_{n}''\ne0,x_{n}''\to 0,\lim\limits_{n\to\infty}f\circ g(x_{n}'')=1 xn′′=nπ1,xn′′=0,xn′′→0,n→∞limf∘g(xn′′)=1
由海涅定理, lim x → 0 f ∘ g ( x ) \lim\limits_{x\to 0}f\circ g(x) x→0limf∘g(x)不存在。
【注】这个函数0这一点不连续。 ∘ \circ ∘是复合函数的符号。
【定理3.2.3】 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)在 x 0 x_{0} x0连续, g ( x 0 ) = u 0 g(x_{0})=u_{0} g(x0)=u0, f ( u ) f(u) f(u)在 u 0 u_{0} u0连续,则 f ∘ g f\circ g f∘g在 x 0 x_{0} x0连续。
也即 lim x → x 0 g ( x ) = u 0 , lim u → u 0 f ( x ) = f ( u 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=u_{0},\lim\limits_{u\to u_{0}}f(x)=f(u_{0}) x→x0limg(x)=u0,u→u0limf(x)=f(u0),则 lim x → x 0 f ∘ g ( x ) = f ∘ g ( x 0 ) = f ( u 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}}f\circ g(x)=f\circ g(x_{0})=f(u_{0}) x→x0limf∘g(x)=f∘g(x0)=f(u0)
【证】 ε > 0 , ∃ η > 0 , ∀ u ( ∣ u − u 0 ∣ < η ) : ∣ f ( u ) − f ( u 0 ) ∣ < ε \varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall u(|u-u_{0}|<\eta):|f(u)-f(u_{0})|<\varepsilon ε>0,∃η>0,∀u(∣u−u0∣<η):∣f(u)−f(u0)∣<ε
对上述 η > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ( ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ g ( x ) − g ( x 0 ) ∣ < η \eta>0,\exists\delta>0,\forall x(|x-x_{0}|<\delta):|g(x)-g(x_{0})|<\eta η>0,∃δ>0,∀x(∣x−x0∣<δ):∣g(x)−g(x0)∣<η
由于 g ( x 0 ) = u 0 g(x_{0})=u_{0} g(x0)=u0则 ∣ g ( x ) − u 0 ∣ < η |g(x)-u_{0}|<\eta ∣g(x)−u0∣<η
所以 ∣ f ∘ g ( x ) − f ∘ g ( x 0 ) ∣ = ∣ f ∘ g ( x ) − f ( u 0 ) ∣ < ε \left|f \circ g(x)-f \circ g\left(x_{0}\right)\right|=\left|f \circ g(x)-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon ∣f∘g(x)−f∘g(x0)∣=∣f∘g(x)−f(u0)∣<ε
即 lim x → x 0 f ∘ g ( x ) = f ∘ g ( x 0 ) \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f \circ g(x)=f \circ g\left(x_{0}\right) x→x0limf∘g(x)=f∘g(x0)
【例3.2.10】 sh x = e x − e − x 2 , ch x = e x + e − x 2 \sh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\ch x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} shx=2ex−e−x,chx=2ex+e−x(双曲正弦函数,双曲余弦函数),这两个函数是复合函数,比如 sh x = e x − e − x 2 \sh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} shx=2ex−e−x可以写成 y = u + u − 1 2 , u = e x y=\frac{u+u^{-1}}{2},u=e^{x} y=2u+u−1,u=ex, u u u的值域是 u > 0 u>0 u>0,所以它复合后的结果也是连续的,所以 sh x , ch x \sh x,\ch x shx,chx在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)连续。