1. 递推

接下来的这节，我们就来讨论 next 查询表的构造算法。我们将会看到非常有意思是， next 表的构造过程与 KMP 主算法的流程在本质上是完全一样的。

在这里，我们不妨采用递推策略。我们只需回答这样一个一般性的问题即可，也就是说由低至高，如果我们已经构造到了 next 表的第 j 项，那么接下来又当如何进而构造出 j + 1 项？

在此，我们需要再次重温 next 表的定义。也就是说这个表中所谓的第 j 项，也就是在模式串长度为 j 的那个前缀中，自我匹配的真前缀与真后缀的最大程度。由此，我们自然就可得知，在数值上， next 表中的任何一项，相对于此前的那一项，至多只可能增长一个单位。通过反证法，这一点不难得到。

进一步地，这个不等式取等号的充量条件是，在模式串 P 中，编号为 j 的字符与它按照 next 表的继任者彼此相等。

比如在这幅图中， P[j] 就是这个字符 x，而它的继任者则为这个字符x。根据 next 表的定义，以这条线为界，P 的这个前缀与它的这个子串必然是完全匹配的。因此，如果 P[j] 与它的继承者也是相等的，这种自匹配的长度自然就会增加一个单位。

1. 因此，在这种情况下，next 表中的第 j + 1 项，也自然地就应该在此前第 j 项的基础上再递增一个单位。这样我们也就证明了这个充要条件 “当” 的那个方向。
2. 为了进而再证明"仅当"，我们只需考察 P[j] 与它的替代者不相等的情况。比如后者为 y，此时在这个长度为 j + 1 的前缀中，任何一对自匹配的真前缀和真后缀，也必然蕴含着在此前长度为 j 的那个前缀中自匹配的一对真前缀和真后缀。而且新的那对真前缀和真后缀的长度，也必然相对于此前那对要增加一个单位。而由于 next 表中的各项都是对应于自匹配的最大长度，因此，新的自匹配长度绝对不可能超过此前的自匹配长度。

那么倘若 P[j] 果真与它的继任者不等，我们又该如何计算出 next 表中的下一项呢？

2. 算法

在这里，需要牢牢抓住的要领，依然是 next 表项的那个必要条件，也就是前缀的自相似性。 刚才为了估算出 next 表的第 j + 1项，我们曾经尝试过在第 j 项的基础上去加 1。因为根据刚才所建立的充要条件，只要 P[j] 与它的继任者是相等的，那么的确可以简明地通过加 1 得到下一项。那么即便 P[j] 与它的继任者不相等，这个必要条件依然可以适用，也就是说在这种情况下，为了估算出 next 表的第 j + 1项，下一个值得尝试的位置，依然需要满足自相似的必要条件。

那么，对应的这个前缀的长度，也自然就应该是在此前长度的基础上，再去取一次对应的 next 表项。也就是说，从前缀长度的变化趋势来看，如果此前是将 j 替换为 next[ j ]，那么接下来，就应该将next[ j ]替换为 next[next[ j ]]。当然，如果仍有必要，我们还应该将next[next[ j ]]替换为next [next [next [ j ]]] 。这个过程可能持续多步，一旦遇到这样一个相等的替代者，就可以在它所对应的这个前缀长度的基础上，在累进一个单位，即可得到 next 表的下一项。概括而言，在估算 next 表下一项的过程中，我们应该按照这样一个序列依次尝试。

请注意，因为 next 表项对应的都是真前缀与真后缀的长度，所以，对于任何一个 j 而言，其对应的 next 表项都会严格地小于它自己。这就意味着上述这个序列必然是严格递减的，整个算法迟早会收敛并终止，不然最终的结局有可能是非常极端的，也就是说有可能会一直尝试到0号位置。

在上图中，也就相当于模式串经过多次的位移，最终居然越过了 i + 1 本身。按照通常的理解，此时会出现问题，因为接下来与 P[j] 进行比对的那个字符根本就无从谈起。而事实上，这正是我们的哨兵能够大显身手的又一个场合。应该记得这个假想的哨兵是一个通配的字符，所以作为假想的继任者，它必然在逻辑上也可等效为与 P[j] 相等。因此，即使整个计算过程到了这步田地，也必然会因为这次逻辑上的叛等通过而随即终止。

而且此时 next 表中对应的下一项，就应该是在-1的基础上再加 1，也就是取做0。

至此，只要纵观整个计算的过程，我们就不难发现，这实质上就是模式串自己与自己不断匹配的过程。因此，只需基于 KMP 主算法框架略做修改，也自然就可以导出 next 表的递推计算算法。二者的区别实际上无外乎一点，也就是，新的这个算法需要实时输出 next 表的下一项。

3. 实现

next表的构造算法可以具体实现如下：

正如我刚才所分析的， 其总体框架应该与 KMP 的主算法几乎一样。主要的差别有这么几点。

1. 首先，入口参数只有模式串自己。这一点不难理解，因为我们刚才讲过，整个 next 表的构造过程就是它自己与自己的匹配。因此在这个场合，P 既是模式串，也是文本串。

2. 另一点区别在于初始化。我们刚才已经分析过，next 表的首项，也就是第0项，数值必然固定为-1，因此我们不妨首先就完成这一设置。

3. 接下来是我们已经非常熟悉的 KMP 循环，其中的 if 和 else 分支，分别对应于当前匹配与失配的两种情况。

   按照我们刚才的分析，一旦发现一对新的匹配字符，我们就可以立即得出 next 表的下一项，而且它的数值就应该是在此前一项的基础上在累进一个单位。反过来，如果是失配，根据我们刚才的分析，也只需将当前的尝试位置 t 更新为它所对应的 next 表项。当然，根据刚才已指出的单调性，这个表项当前必然已经计算出来，所以你尽可放心。

这幅图也给出了该算法的一次典型运行过程。假设我们正需要递推地计算出下一项，此时，我们的 P[j] 是这个 x。首先尝试的是 next[j]，如果对应的字符与 P[j] 不等，也就对应于循环中的 else 分支，于是我们会将 next [j] 进而替换为 next[next[j]]，并且继续用对应的这个字符与 P[j] 进行比对，如果依然不等，我们就需要将 next[next[j]] 进一步地替换为 next[next[next[j]]]，在任何一步迭代中，一旦当前的字符与 P[j] 相等，我们就可以立即将下一个 next 表项设置为在这个前缀的长度基础上，再累进一个单位。当然这个迭代的过程有可能会进行很多步，但正如我们刚才所分析的那样，充其量不过迭代到这样一种状态，也就是当假想的那个哨兵与 P[j] 对齐时，必然会随即终止。

至此，我们已经了解了 KMP 算法的基本原理以及相应的计算过程。那么接下来的一个问题自然就是，这个算法的总体时间复杂度是多少呢？是否如我们所期盼的那样，可以控制在线性的范围以内呢？