参考资料：R语言实战【第2版】

1、aov()函数

        aov()函数的语法为aov(formula,data=dataframe)，下表中列举了表达式中可以使用的特殊符号。其中，y是因变量，字母A、B、C代表因子。如下：

符号	用法
~	分隔符，左边为响应变量，右边为解释变量。例如，用A、B和C预测y，表达式为y~A+B+C
:	表示变量的交互项。例如，用A、B和A与B的交互项来预测y，表达式为y~A+B+A:B
*	表示所有可能的交互项。表达式y~A*B*C等同于y~A+B+C+A:B+A:C+B:C+A:B:C
^	表示交互项达到某个次数。表达式y~(A+B+C)^2等同于y~A+B+C+A:B+A:C+B:C
.	表示包含除因变量晚的所有变量。例如，若一个数据框包含变量y、A、B、C，表达式y~.等同于y~A+B+C

        下表中还列举了常见的研究设计表达式，表中的小写字母表示定量变量，大写字母表示组别因子，Subject是对被试者独有的标识变量。

设计	表达式
单因素ANOVA	y~A
含单个协变量的单因素ANOVA	y~x+A
双因素ANOVA（含交互项）	y~A*B
含两个协变量的双因素ANOVA	y~x1+x2+A*B
随机化区组	y~B+A（其中B是区组因子）
单因素组内ANOVA	y~A+Error(Subject/A)
含单个组内因子（W）和单个组间因子（B）的重复测量ANOVA	y~B*W+Error(Subject/W)

2、aov()函数表达式中各项的顺序

        表达式中效应的顺序在两种情况下会造成影响：①因子不止一个，且是非平衡设计；②存在协变量。出现任意一种情况时，等式右边的变量都与其他每个变量相关。此时，我们无法清晰地划分它们对因变量的影响。例如，对于双因素方差分析，若不同处理方式中的观测数不同，那么模型y~A*B与模型y~B*A的结果不同。

        R语言模型类型Ⅰ方法计算ANOVA效应。第一个模型可以这样写：y~A+B+A:B。R语言中ANOVA表的结果将评价：

        ①A对y的影响；

        ②控制A时，B对y的影响；

        ③控制A和B的主效应时，A与B的交互效应。

        当自变量与其他自变量或协变量相关时，没有明确的方法可以评价自变量对因变量的贡献。例如，含因子A、B和因变量y的双因素不平衡因子设计，有三种效应：A的主效应、B的主效应、A和B的交互效应。假如我们正式用下面的表达式对数据进行建模：

        y~A+B+A:B

        有三种类型的方法可以分解等式右边各效应对y所解释的方差。

（1）类型Ⅰ（序贯型）

        效应根据表达式中先出现的效应做调整。如上式中：A不做调整，B根据A做调整，A:B交互项根据A和B调整。

（2）类型Ⅱ（分层型）

        效应根据同水平或低水平的效应做调整。A根据B调整，B依据A调整，A:B交互项同时根据A和B调整。

（3）类型Ⅲ（边界型）

        每个效应根据模型其他各效应做相应调整。A根据B和A:B做调整，A:B交互项根据A和B调整。

        R语言默认调用类型Ⅰ方法，而SAS和SPSS默认调用类型Ⅲ方法。

        样本大小越不平衡，效应项的顺序对结果的影响越大。一般来说，越基础性的效应越需要放到表达式前面。具体来讲：首先是协变量，然后是主效应，接着是双因素的交互项，再是三因素的交互项，以此类推。对于主效应，越基础性的变量越应放在表达式前面，比如性别因子要放在处理方式的前面。有一个基本的准则：若研究设计不是正交（也就是说，因子和/或协变量相关），一定要谨慎设置效应的顺序。

        注意：car包中的Anova()函数（不要与标准anova()函数混淆）提供了使用类型Ⅱ或类型Ⅲ方法的选项，而aov()函数使用的是类型Ⅰ方法。若想使结果与其他软件（如SAS和SPSS）提供的结果一致，可以使用car包中的Anova()函数。