《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 单峰数组” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1839

题目描述

【题目描述】 本题对单峰数组的定义：
   前一部分递增，后一部分递减，注意每部分可以为空，即完全递增、完全递减的数组也称为单峰数组。
   现在给你一个长度为n的数组，每次可以交换相邻两个数字，请输出最小交换次数使得数组变成本题定义的单峰数组。
【输入格式】 输入第一行为正整数n，1≤n≤300000。
   接下来n行，每行一个数字ai，表示数组a，1≤ai≤1000000000。
   输入数字各不相同。
【输出格式】 输出一个数表示答案。
【输入样例】

8
7
4
8
10
1
2
6
9

【输出样例】

7

---

题解

   如何操作才能以最小交换次数获得单峰数组？显然，最小的数字肯定要挪到最左边或最右边，那么应该挪到左边还是右边？为了使挪动次数最少，应该挪到交换次数少的那一边。最小的数字处理完，后面不用再管它。下一步挪第二小的数，同样挪到最左边或最右边。依次这样从小到大处理所有的数，直到结束。这样操作的交换次数肯定最少。
   样例{7 4 8 10 1 2 6 9}的操作步骤如下：
   （1）挪最小的1。挪到最左边需要交换4次，挪到最右边需要交换3次；取挪到右边的3次。新序列是{7 4 8 10 2 6 9 1}，因为1不用再管，去掉1，新序列是{7 4 8 10 2 6 9}。
   （2）挪新序列中最小的2。挪到最左边需4次，挪到最右边只需2次；取2次。去掉2，新序列是{7 4 8 10 6 9}。
   …
   依次操作，一共交换3+2+1+1+0+0+0+0=7次。
   如果用暴力法做以上操作，挪动每个数是$O(n)$复杂度的，挪n个数是$O(n^2)$的，超时。
   本题用树状数组求解，代码简单、效率高，计算复杂度是$O(nlogn)$的。
   用到的技术有离散化和树状数组，具体做法参考 《算法竞赛》“4.2.3 树状数组扩展应用”的“2. 偏序问题（逆序对 + 离散化）” ，几乎一样。

【笔记】 离散化、树状数组 。

C++代码

  

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300000 + 10;
int a[N], olda[N], tree[N], pos[N];
#define lowbit(x)  ((x) & - (x))
void update(int x, int d){ //修改元素a[x],  a[x] = a[x] + dwhile(x <= N)tree[x] += d, x += lowbit(x);
}
int sum(int x){ //查询前缀和：返回前缀和sum = a[1] + a[2] +... + a[x]int ans = 0;while(x)ans += tree[x], x -= lowbit(x);return ans;
}
int main(){int n; cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i], olda[i] = a[i];sort(olda + 1, olda + 1 + n);for(int i = 1; i <= n; i++){//离散化,得到新数组a[]a[i] = lower_bound(olda + 1, olda + 1 + n, a[i]) - olda;pos[a[i]] = i;  //记录每个数字的idxupdate(i, 1);   //初始化树状数组：树状数组的下标是这里的idx}long long ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {int idx = pos[i];int before = sum(idx - 1);    //利用树状数组求beforeint after = n - i - before;ans += min(before, after);      //贪心：挪到最左或最右update(idx, -1);                //更新树状数组}cout<<ans<<endl;return 0;
}

Java代码

import java.util.*;public class Main {static final int N = 300000 + 10;static int[] a = new int[N], olda = new int[N], tree = new int[N], pos = new int[N];public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();for(int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = sc.nextInt();olda[i] = a[i];}Arrays.sort(olda, 1, n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++) {//离散化,得到新数组a[]a[i] = Arrays.binarySearch(olda, 1, n + 1, a[i]);if(a[i] < 0) a[i] = -a[i] - 1;pos[a[i]] = i;  //记录每个数字的idxupdate(i, 1);   //初始化树状数组：树状数组的下标是这里的idx}long ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {int idx = pos[i];int before = sum(idx - 1);    //利用树状数组求beforeint after = n - i - before;ans += Math.min(before, after);      //贪心：挪到最左或最右update(idx, -1);                //更新树状数组}System.out.println(ans);}static void update(int x, int d) { //修改元素a[x],  a[x] = a[x] + dwhile(x <= N) {tree[x] += d;x += lowbit(x);}}static int sum(int x) { //查询前缀和：返回前缀和sum = a[1] + a[2] +... + a[x]int ans = 0;while(x > 0) {ans += tree[x];x -= lowbit(x);}return ans;}static int lowbit(int x) {return x & (-x);}
}

Python代码

N = 300000 + 10
a, olda, tree, pos = [0] * N, [0] * N, [0] * N, [0] * N
def update(x, d):   #修改元素a[x], a[x] = a[x] + dglobal treewhile x <= N:tree[x] += dx += lowbit(x)
def sum(x):  #查询前缀和：返回前缀和sum = a[1] + a[2] +... + a[x]global treeans = 0while x > 0:ans += tree[x]x -= lowbit(x)return ans
def lowbit(x):   return x & (-x)
n = int(input())
for i in range(1, n+1):a[i] = int(input())olda[i] = a[i]
olda = sorted(olda[1:n+1])
for i in range(1, n+1):    a[i] = olda.index(a[i]) + 1   # 离散化, 得到新数组a[]pos[a[i]] = i    # 记录每个数字的idxupdate(i, 1)     # 初始化树状数组：树状数组的下标是这里的idx
ans = 0
for i in range(1, n+1):idx = pos[i]before = sum(idx - 1)      # 利用树状数组求beforeafter = n - i - beforeans += min(before, after)  # 贪心：挪到最左或最右update(idx, -1)            # 更新树状数组
print(ans)