前置知识：定积分的计算（换元法）

习题1

已知$f(x)$，计算${\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)dx$

解：原式$=\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)d(2x)=\frac{1}{2}f(2x){|}_a^b=\frac{1}{2}[f(2b)-f(2a)]$

习题2

计算半径为$a$的圆$x^2+y^2\le a^2$的面积$S$

解：
\qquad 根据定积分的意义，有

$$S=4{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx$$

\qquad 令$x=a\sin t$，则$t\in [0,\frac{\pi }{2}]$对应$x\in [0,a]$，$t=0$对应$x=0$，$t=\frac{\pi }{2}$对应$x=a$，则

$${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{a}^2{\cos }^{2}tdt=\frac{a^2}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2t)dt=\frac{a^2}{2}(t-\frac{\sin 2t}{2}){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}{a}^2$$

\qquad 所以

$$S=4\times \frac{\pi }{4}{a}^2=\pi a^2$$

总结

熟练掌握第一类换元法和第二类换元法，这类题目一般都可以轻松解决。