前置知识：

• 第一类换元法（凑微分法）
• 第二类换元法
• 牛顿-莱布尼茨公式

定积分换元法

设$f$在$[a,b]$上连续，$\phi$在$[\alpha ,\beta ]$上可导且导数连续，$x=\phi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上的值域包含于$[a,b]$，且$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

证明： 因为$f$在$[a,b]$上连续，所以$f$在$[a,b]$上有原函数$F(x)$，而$F(\phi (t))$是$f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$的原函数，由此可得

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F(\phi (t)){|}_{\alpha }^{\beta }=F(x){|}_a^b={\int }_a^{b}f(x)dx$$

例题1

计算${\int }_0^1(2x+1{)}^{2}dx$

解：原式$=\frac{1}{2}{\int }_0^1(2x+1{)}^{2}d(2x+1)=\frac{1}{6}(2x+1{)}^3{|}_0^1=\frac{13}{3}$

例题2

计算${\int }_1^e\frac{1}{x(1+\ln x)}dx$

解：原式$={\int }_1^e\frac{1}{1+\ln x}d(1+\ln x)=\ln |1+\ln x|{|}_1^e=\ln 2$