在BA无标度网络中，每个节点的度数是随机增长的，遵循幂律分布。假设节点$v$的度数为$k_v$，则节点$v$将以概率$p=\frac{k_v}{{\sum }_{k}kP(k)}$选择与之相连的邻居节点，其中${\sum }_{k}kP(k)$表示网络中所有节点的度数之和。

考虑传播过程，假设在时间$t=0$时刻，只有一个节点被感染，我们把它称为"Patient Zero"。在每个时间步中，已经被感染的节点以一定的传播概率$p$将疾病传给它的邻居节点。

现在推导传播阈值。假设节点$v$在时间$t$时刻已经被感染，我们想知道它在时间$t+1$时刻是否能够成功传染给它的邻居。

节点$v$能够成功传染给它的邻居节点的概率取决于两个因素：

1. 节点$v$的度数$k_v$：节点$v$有多少个邻居节点可以被传染。
2. 邻居节点的传播概率：节点$v$的邻居节点已经被传染的概率。

我们假设传播概率为$p$，则节点$v$能够成功传染给它的邻居的概率为$p\cdot k_v$。这是因为节点$v$的每个邻居都有独立的概率$p$被传染，并且节点$v$有$k_v$个邻居。

如果我们希望传播过程能够持续下去，也就是疾病能够在网络中蔓延开来，那么传播概率$p\cdot k_v$必须大于$1$。这样，每个感染节点平均会传染给多于一个的邻居节点，从而导致疾病的传播。

因此，传播阈值可以定义为：
$p_c=\frac{1}{k_{\text{avg}}}$

其中，$k_{\text{avg}}$表示网络的平均度数，它是节点度数的期望值。

传播阈值$p_c$是一个重要的临界点，当传播概率$p$小于$p_c$时，疾病无法在网络中蔓延开来；当传播概率$p$大于$p_c$时，疾病有可能在网络中蔓延开来。