实二次型

6.1二次型的定义及其矩阵表示

1.二次型的概念

n个变量 $x_1,x_2,...,x_n$ 的二次齐次多项式

$f(x1,x2,...,xn)=a11x12+2a12x1x2+....+2a1nx1xn+a22x22+...+2a2nx2xn.......+annxn2f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x^2_1+2a_{12}x_1x_2+....+2a_{1n}x_1x_n+a_{22}x^2_2+...+2a_{2n}x_2x_n.......+a_{nn}x^2_n$

称为n元二次型，简称二次型。

系数 $a_ij(i,j=1,2,...,n)$ 均为实数的n元二次型，简称实二次型。

二次开型的矩阵与秩的概念

一般约定当 $i≠ji\neq j$ 是， $a_{ij}=a_{ji}$ ，这样的 $2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_ix_j$ ，于是二次型（1）式可以表示为

$f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+...+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+...+a2nx2xn+......+an1xnx1+an2xnx2+...+annxn2=(x1,x2,...,xn)∣a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...an1,an2,...,ann∣∣x1x2...xn∣f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x^2_1+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x^2_2+...+a_{2n}x_2x_n+...\ ...+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+...+a_{nn}x^2_n=(x_1,x_2,...,x_n)\left| \begin{matrix} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn}\\ \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{matrix} \right|$

如果我们记
$x=∣x1x2...xn∣,A=(aij)n∗n=∣a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...an1,an2,...,ann∣x=\left|\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{matrix}\right| , A=(a_{ij})n*n=\left| \begin{matrix} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn} \end{matrix} \right|$
,则上述二次型可以写为

$f(x1,x2,...,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj=xTAx.f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}a_{ij}x_ix_j=x^TAx.$

其中矩阵A是一个n阶实对称矩阵，称为二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的矩阵。

由二次型可唯一确定n阶实对称矩阵A；反之，给定n阶实对称矩阵A，可唯一确定n元二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx$ 。即n元二次型和n阶实对称矩阵之间有1-1对应关系。矩阵A的秩称为二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的秩。

二次型的矩阵表示

二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的矩阵A的主对角线上的元素为二次型平方项的系数，其他位置元素为交叉项系数的一半，即（i,i）位置为 $xi2x^2_i$ 的系数 $α\alpha$ ，当 $i≠ji\neq j$ 时，（i,j）位置为 $x_ix_j$ 的系数2a_{ij}的一半 $a_{ij}$

6.2二次型的标准形

二次型的标准形
从变量 $y_1,y_2,...,y_n$ 到变量 $x_1,x_2,...x_n$ 的线性变换为
${x1=c11y1+c12y2+...+c1nynx2=c21y1+c22y2+...+c2nyn...xn=cn1y1+cn2y2+...+cnnyn\left\{ \begin{matrix} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+...+c_{1n}y_n\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+...+c_{2n}y_n\\ ...\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+...+c_{nn}y_n \end{matrix} \right.$

简记 $x = C y$

其中
$x=∣x1x2...xn∣,y=∣y1y2...yn∣,C=∣c11,c12,...,c1nc21,c22,...,c2n...cn1,cn2,...cnn∣x=\left| \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{matrix} \right| , y=\left| \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ ...\\ y_n \end{matrix} \right| , C=\left| \begin{matrix} c_{11},c_{12},...,c_{1n}\\ c_{21},c_{22},...,c_{2n}\\ ...\\ c_{n1},c_{n2},...c_{nn} \end{matrix} \right|$

当 $C=(c_{ij})$ 为可逆矩阵时，上述变换称为可逆线性变换，当 $C=(c_{ij})$ 为正交矩阵时，称为正交变换。

对于二次型 $f(x1,x2,...,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixjf(x_1,x_2,...,x_n)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}x_ix_j$ ,要寻求可逆线性变换 $x = C y$ ，使得二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 只含平方项，即：

$f=k1y12+k2y22+...+knyn2f=k_1y^2_1+k_2y^2_2+...+k_ny^2_n$

这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型。

矩阵合同的概念

设A，B都是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵C使得 $B=C^TAC$ ，则称矩阵A与B是合同的，记为 $A≃BA\simeq B$ .

矩阵的合同关系具有如下性质：
（1）反身性： $A≃BA\simeq B$

（2）对称性：若 $A≃BA\simeq B$ ，则 $B≃AB\simeq A$

（3）传递性：若 $A≃B,B≃CA\simeq B,B\simeq C$ ，则 $A≃CA\simeq C$

用正交变换化二次型为标准型

（1）若n阶实对称矩阵A的特征值是 $γ1,γ2,...,λn\gamma_1,\gamma_2,...,\lambda_n$ ，则存在正交矩阵Q，使得
$QTAQ=∣λ1,,,,λ2,,...,,,λn∣Q^TAQ=\left| \begin{matrix} \lambda_1,\ ,\ ,\ \\ \ ,\lambda_2,\ ,\ \\ ...\\ \ ,\ ,\ ,\lambda_n \end{matrix} \right|$

(2)对任意n元实二次型 $f(x)=x^TAx$ ,存在正交变换x=Qy，将f化成标准形
$f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2f=\lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+...+\lambda_ny^2_n$
其中， $λ1,λ2,...λn\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n$ 是A的全部特征值。

（3）用正交变换化二次型为标准形的步骤

1 写出二次型的矩阵A；
2求出矩阵A的全部特征值；
3求得正交矩阵Q，使得 $QTAQ=diag(λ1,λ2,...,λn)Q^TAQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$ ；
4 作正交变换 $x = Q y$ ,得到标准形 $f=λ1y12+λ2y22+.....+λnyn2f=\lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+.....+\lambda_ny^2_n$ ，其中 $λ1,λ2,...λn\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n$ 的排序与Q中特征向量的排序相对应。

用配方法化二次型为标准型。
一般来说用配方法化二次型为标准形的原则是：如果含有 $x12x^2_1$ ，将含有 $x_1$ 的项放在一起配成完全平方后，剩余的项中不再含有 $x_1$ ，如果剩余项中含有 $x^2_2$ ，继续配方后，剩余的项中不再含有 $x_2$ ,如此继续下去，将所有项均配成完全平方，这时所做的线性变换是可逆变换，如果二次型中没有平方项，用适当的可逆线性变换使二次型中出现平方项，再进行上述的配方过程。
二次型的规范形
设秩为r的实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx$ 经可逆线性变换 $x = C y$ 化为标准形
$f=d1y12+d2y22+...+dnyn2f=d_1y^2_1+d_2y^2_2+...+d_ny^2_n$

不妨设 $d_1,d_2,...,d_p>0,d_{p+1},d_{p+2},...,d_{r}<0,d_{r+1}=d_{r+2}=...=d_{n}=0$ ，再作可逆线性变换

${z1=d1y1...zp=dpypzp+1=−dp+1yp+1...zr=−dryrzr+1=yr+1...zn=yn\left\{ \begin{matrix} z_1=\sqrt{d_1}y_1\\ ...\\ z_p=\sqrt{d_p}y_p\\ z_{p+1}=\sqrt{-d_{p+1}}y_{p+1}\\ ...\\ z_r=\sqrt{-d_r}y_r\\ z_r+1=y_{r+1}\\ ...\\ z_n=y_n \end{matrix} \right.$

二次型进一步化为标准形

$f=z12+...+zp2−zp+12−...−zr2f=z^2_1+...+z^2_p-z^2_{p+1}-...-z^2_r$

称其为实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的规范形。

惯性定律

实二次型都能用可逆的线性变换化为规范形，且规范形是唯一的。

由惯性定理知，尽管实二次型 $f(x1_,x_2,...,x_n)$ 的标准形不唯一，但标准形中正平方项的个数p是唯一确定的，负平方项的个数q=r-p也是唯一确定的（r为二次型的秩）分别称为实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的正惯性指数和负惯性指数,p-q称为二次型的符号差。

6.3 正定二次型与正定矩阵

1.正定二次型与正定矩阵的概念

设 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx$ 是一个实二次型，若对任意非零向量 $α=(a1,a2,...,an)T≠0\alpha = (a_1,a_2,...,a_n)^T\neq 0$ ，都有 $f(a1,a2,...,an)=αTAαf(a_1,a_2,...,a_n)=\alpha^TA\alpha$ ，称二次型f为正定二次型，称实对称矩阵A为正定矩阵。

二次型为正定二次型的充分必要条件

（1）n元实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n。

（2）实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx$ 正定的充分必要条件是矩阵A的特征值都大于零。

（3）实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A特征值都大于零。

（4）n元实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 正定的充分必要条件是其规范形为

$z12+z22+...+zn2z^2_1+z^2_2+...+z^2_n$

（5）实二次型 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵。

（6）实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A合同于单位矩阵

（7）正定矩阵的行列式大于零

（8）设A是实对称矩阵，则A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均大于零。

3.半正定（负定，半负定）二次型与半正定（负定，半负定）矩阵的概念。

设定 $f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx$ 是一个实二次型，若对任意非零向量 $α=(a1,a2,...,an)T≠0\alpha = (a_1,a_2,...,a_n)^T\neq 0$ ，都有 $f(a1,a2,...,an)=αTAα<0f(a_1,a_2,...,a_n)=\alpha^TA\alpha<0$ ，称二次型f为负定二次型，称实对称矩阵A为负定矩阵；若对任意非零向量 $α=(a1,a2,...,an)T≠0\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)^T\neq 0$ 都有 $f(a1,a2,...,an)=αTAα⪖0(⪕0)f(a_1,a_2,...,a_n)=\alpha^TA\alpha\eqslantgtr 0(\eqslantless 0)$ ,则称二次型f为正（负）定二次型，并称实对称矩阵A为半正（负）定矩阵；不是正定，负定，半正定，半负定的二次型称为不定二次型，相应的矩阵称为不定矩阵。